Übungsserie 4, Aufgabe 2 < VK 59: LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | IV-2: Zeigen Sie, dass die Menge [mm] C_{[a,b]} [/mm] aller stetigen Funktionen f: [mm] [a,b]->\IR [/mm] ein Unterraum des Vektorraums [mm] \IR_{[a,b]} [/mm] aller auf [a,b] definierten reellwertigen Funktionen ist. ( [mm] a,b\in \IR, [/mm] a<b ) |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 So 11.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Ich bräuchte für diese Aufgabe mal wieder einen kleinen Tipp...
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1. Dass [mm] $\IR_{[a,b]}$ [/mm] ein reeller Vektorraum ist, kannst du als bekannt voraussetzen.
2. Kennst du die Unterraumaxiome?
Sind sie erfüllt?
Wenn du Stetigkeit zeigen sollst würde ich persönlich dir das Folgenkriterium empfehlen, aber geht sicher auch ohne.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 11.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie die Elemente dieser Menge aussehen.
Sind es Funktionen?
Wenn ja, dann lauten die Axiome doch:
1) [mm] $(g_1+g_2)(x) [/mm] = [mm] g_1(x) [/mm] + [mm] g_2(x)$
[/mm]
2) (ag)(x) = ag(x)
3) Die Menge darf nicht leer sein.
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In [mm] $\IR_{[a,b]}$ [/mm] sind Funktionen, ja.
In der zu untersuchenden Menge sind alle stetig.
Das heißt, die Frage ist:
Ist [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] stetig?
Denn dann wäre [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] in der Menge drinn und dieses Axiom wäre abgehakt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 11.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Sei [mm] $g_1,g_2 \in C_{[a,b]}$
[/mm]
Da die beiden Funktionen stetig sind, so gilt:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] = L$ und $ [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_0} [/mm] = M$
Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge, wobei [mm] $x_n \in [a,b]\{x_0}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
(Folgenkriterium)
$ [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} g_1(x_n) [/mm] = L$, $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g_2(x_n) [/mm] = M$
$ [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (g_1+g_2)(x_n) [/mm] = L+M$
(Folgenkriterium)
$ [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0} (g_1+g_2)(x) [/mm] = L+M$
Damit ist auch [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] stetig und ein Element von [mm] C_{[a,b]} [/mm]
Sei weiterhin [mm] $\alpha \in \IR$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} g_1(x_n) [/mm] = L$
[mm] $\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (\alpha*g_1)(x_n) [/mm] = [mm] \alpha*L$
[/mm]
(Folgenkriterium)
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0} (\alpha*g_1)(x) [/mm] = [mm] \alpha*L$
[/mm]
Somit ist [mm] $\alpha*g_1$ [/mm] ebenfalls in [mm] $C_{[a,b]}$
[/mm]
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Hallo Kimmel,
eine etwas späte Antwort von mir, aber ich hoffe dich interessiert es trotzdem noch... ;)
Ich denke, so wie du das machst ist das vollkommen ok. Insofern bei mir keine Denkfehler drin ist, kannst du hier doch einfach die Hilfsmittel aus der Analysis benutzen (ohne Extra-Beweis): erstmal musst du aber noch hervorheben: es ist [mm] C_{[a,b]} [/mm] eine Teilmenge des Körpers der in [a,b] reellwertigen Funktionen. Des weiteren ist [mm] C_{[a,b]} [/mm] nichtleer denn die konstante Nullfunktion liegt drin.
Nun zur Analysis: seien f,g stetige Funktionen in [a,b], dann ist nach Sätzen über die Zusammensetzung stetiger Funktionen auch (f+g)(x)=f(x)+g(x) stetig (addition alle Werte in [a,b] ) und für reelles [mm] \alpha [/mm] ist auch [mm] \alpha*f [/mm] stetig (ist Verschiebung um [mm] \alpha [/mm] in Richtung der y-Achse).
Damit ist [mm] C_{[a,b]} [/mm] ein Unterraum.
Viele Grüße.
Blacki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Kimmel,
>
> eine etwas späte Antwort von mir, aber ich hoffe dich
> interessiert es trotzdem noch... ;)
>
> Ich denke, so wie du das machst ist das vollkommen ok.
> Insofern bei mir keine Denkfehler drin ist, kannst du hier
> doch einfach die Hilfsmittel aus der Analysis benutzen
> (ohne Extra-Beweis): erstmal musst du aber noch
> hervorheben: es ist [mm]C_{[a,b]}[/mm] eine Teilmenge des Körpers
> der in [a,b] reellwertigen Funktionen.
Ist das wirklich ein Körper ?
> Des weiteren ist
> [mm]C_{[a,b]}[/mm] nichtleer denn die konstante Nullfunktion liegt
> drin.
>
> Nun zur Analysis: seien f,g stetige Funktionen in [a,b],
> dann ist nach Sätzen über die Zusammensetzung stetiger
> Funktionen auch (f+g)(x)=f(x)+g(x) stetig (addition alle
> Werte in [a,b] ) und für reelles [mm]\alpha[/mm] ist auch [mm]\alpha*f[/mm]
> stetig (ist Verschiebung um [mm]\alpha[/mm] in Richtung der
> y-Achse).
nein das wäre f+ [mm] \alpha
[/mm]
FRED
> Damit ist [mm]C_{[a,b]}[/mm] ein Unterraum.
>
> Viele Grüße.
> Blacki
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Wieso ist es kein Körper? O.o
Ok das zweite stimmt, da hab ich nicht aufgepasst. ^^ das ist eher sowas wie eine Streckung/Stauchung.
LG
Blackwolf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Do 31.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wieso ist es kein Körper? O.o
Sei V = Menge aller Funktionen f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit der punktweisen Addition "+" und Multiplikation [mm] "\cdot".
[/mm]
Wenn V ein Körper wäre, so wäre $(V [mm] \setminus \{0\}, [/mm] *)$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element [mm] f_0(x)=1
[/mm]
Zu jedem f [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] würde es dann ein g [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] geben mit: [mm] $f*g=f_0$ [/mm] auf [a,b]
Dann wäre aber jedes f [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] nullstellenfrei.
FRED
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> Ok das zweite stimmt, da hab ich nicht aufgepasst. ^^ das
> ist eher sowas wie eine Streckung/Stauchung.
>
> LG
> Blackwolf
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