Übungsserie 4, Aufgabe 3 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | IV-3: a) Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie evtl. den Grenzwert: (i) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] sowie (ii) die rekursiv def. Folge mit [mm] a_{1}=\wurzel{2} [/mm] und [mm] a_{n+1}=\wurzel{2+a_{n}}.
[/mm]
b) Bestimmen Sie den Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] { [mm] \bruch{1}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{2}}+...+\bruch{n}{n^{2}} [/mm] } |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Setze [mm] $b_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] - 1$
Es gilt [mm] b_n \ge [/mm] 0
(Binomi)
$ n = [mm] (1+b_n)^n= \sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} b^k_n \ge \vektor{n \\ 2} b^2_n [/mm] = [mm] \frac{n(n-1)}{2} b^2_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le b_n \le \wurzel{\frac{2}{n-1}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow b_n \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a_n \to [/mm] 1$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Behauptung: Die Folge ist durch 2 nach oben beschränkt.
Beweis?:
IA: [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} \le [/mm] 2$
Passt.
IV: Die Behauptung gelte für ein $n [mm] \in \IN$
[/mm]
IS: [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_n} \stackrel{IV}{\le} \wurzel{2+2} [/mm] = [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2$
Behauptung: Eine untere Schranke ist 0.
IA: [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} \ge [/mm] 0$
IV: Die Behauptung gelte für ein $n [mm] \in [/mm] N$
IS: [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_n} \stackrel{IV}{\ge} \wurzel{2+0} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \ge [/mm] 0$
Monotonienachweis:
[mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{2 + a_n} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{2+a_n-a_n^2}{\wurzel{2+a_n}+a_n} \stackrel{0 \le a_n \le 2}{\ge} \frac{2+2-2^2}{\wurzel{2+2}+2} [/mm] = 0$
Der Nenner ist immer positiv.
Der Zähler hat bei $ \ -1$ und $ \ 2$ eine Nullstelle.
Der Zähler wird für [mm] $a_n [/mm] < - 1$ oder [mm] $a_n [/mm] > 2$ negativ.
Da die Folge im Intervall $ \ [0,2] $ bleibt, so ist der Zähler auch positiv für alle n.
Die Folge wächst also monoton.
Grenzwert:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_n}$
[/mm]
$ [mm] \gdw a_n^2 [/mm] - [mm] a_n [/mm] -2 = 0 $
[mm] $a_{n_1} [/mm] = 2, [mm] a_{n_2} [/mm] = -1$
[mm] $a_{n_2} [/mm] = -1$ kann nicht sein, da die Folge bei [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] beginnt und monoton wächst.
Also ist der Grenzwert bei 2
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Hallo nochmal,
> Behauptung: Die Folge ist durch 2 nach oben beschränkt.
>
> Beweis?:
>
> IA: [mm]a_1 = \wurzel{2} \le 2[/mm]
>
> Passt.
>
> IV: Die Behauptung gelte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
>
> IS: [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{2+a_n} \le \wurzel{4}[/mm]
Das solltest du etwas genauer schreiben, das ist ja der entscheidende Schritt
> = 2
>
>
> Monotonienachweis:
>
> [mm]a_{n+1} - a_n = \wurzel{2 + a_n} - a_n = \frac{2+a_n-a_n^2}{\wurzel{2+a_n}+a_n} \ge 0[/mm]
> (Beschränkheit ausgenutzt)
Aha?! Das solltest du auch kleinschrittiger machen (bzw. genauer begründen), das nimmt dir so kaum ein Korrektor ab ...
Entscheidende Stellen darfst du nicht so nonchalant umschiffen 
>
> Die Folge wächst also monoton.
>
> Grenzwert:
>
> [mm]a_n = \wurzel{2+a_n}[/mm]
>
> [mm]\gdw a_n^2 - a_n -2 = 0[/mm]
>
> [mm]a_{n_1} = 2, a_{n_2} = -1[/mm]
>
> [mm]a_{n_2} = -1[/mm] kann nicht sein, da die Folge bei [mm]\sqrt{2}[/mm]
> beginnt und monoton wächst.
>
> Also ist der Grenzwert bei 2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Letzteres stimmt, wenn die ersten beiden Sachen gelten, da solltest du noch etwas an der Begründung feilen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Okay, mache ich gleich.
Danke schachuzipus (dein Nickname ist schwer zu merken^^)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 13.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Dankeschön, Loddar!
> Du kannst hier den Zähler also schreiben als:
> [mm]-(a_n-2)*(a_n+1) \ = \ (2-a_n)*(1+a_n)[/mm]
>
> Nun mit den Schranken für diese beiden Klammern
> argumentieren, so dass hier jeweils [mm]... \ > \ 0[/mm]
> herauskommt.
Da $ 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 2 $ gilt, sind die beiden Ausdrücke jeweils [mm] $\ge [/mm] 0$.
Also teilen wir eine Zahl $ [mm] \ge [/mm] 0$ durch eine Zahl $\ > 0$.
Somit ist dann der gesamte Bruch $ [mm] \ge [/mm] 0$, also monoton wachsend.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dankeschön, Loddar!
>
> > Du kannst hier den Zähler also schreiben als:
> > [mm]-(a_n-2)*(a_n+1) \ = \ (2-a_n)*(1+a_n)[/mm]
> >
> > Nun mit den Schranken für diese beiden Klammern
> > argumentieren, so dass hier jeweils [mm]... \ > \ 0[/mm]
> > herauskommt.
>
> Da [mm]0 \le a_n \le 2[/mm] gilt, sind die beiden Ausdrücke jeweils
> [mm]\ge 0[/mm].
> Also teilen wir eine Zahl [mm]\ge 0[/mm] durch eine Zahl [mm]\ > 0[/mm].
>
> Somit ist dann der gesamte Bruch [mm]\ge 0[/mm], also monoton
> wachsend.
So ist es
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Di 13.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke, fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Ich bräuchte da einen Tipp zu dieser Aufgabe.
Komme da auf keine Idee, wie ich den Grenzwert berechnen soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
Klammere mal [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] aus bzw. schreibe alle Terme auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
Dann haben wir: [mm]\bruch{1+2+3+...+n}{n^2} \ = \ \bruch{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2}[/mm]
Und für den Ausdruck im Zähler solltest Du eine explizite Formel kennen (Stichwort: "kleiner Gauß").
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hallo Loddar,
dankeschön.
Ich probiere das gleich mal aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n} [/mm] = 1
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Hallo Kimmel,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm] =
Hier ist der Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] verlorengegangen.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \blue{\bruch{1}{2}}\frac{n+1}{n}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n}[/mm] = 1
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke MathePower,
habs jetzt geändert.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2}+\frac{1}{2n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
Beim letzten [mm]\lim[/mm] noch eine Klammernpaar setzen, dann ist es perfekt!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2n} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
So,jetzt aber.
Danke Loddar.
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