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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] $\mathcal{L}^{-1}(\frac{5}{s^2+1})$ [/mm] |
Hallo zusammen,
was muss ich hier machen?
Bis jetzt hatte ich immer nur [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] gegeben und mit folgendem Integral gelöst:
[mm] $F(s)=\integral_{0}^{\infty}{\sigma(t)*e^{-st} dt}$
[/mm]
Setz ich mein [mm] $\mathcal{L}^{-1}$ [/mm] für $F(s)$ ein und löse nach [mm] $\sigma(t)$ [/mm] auf? Wie würde ich dann das Integral auseinanderbekommen?
Sicherlich merkt man an meiner Fragestellung, dass ich eigentlich gar keine Ahnung davon habe, was ich tue. Ein paar erklärende Worte dazu wären klasse.
Gruß
Slartibartfast
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Hallo Slartibartfast,
> Berechnen Sie:
> [mm]\mathcal{L}^{-1}(\frac{5}{s^2+1})[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> was muss ich hier machen?
> Bis jetzt hatte ich immer nur [mm]\mathcal{L}[/mm] gegeben und mit
> folgendem Integral gelöst:
>
> [mm]F(s)=\integral_{0}^{\infty}{\sigma(t)*e^{-st} dt}[/mm]
>
> Setz ich mein [mm]\mathcal{L}^{-1}[/mm] für [mm]F(s)[/mm] ein und löse nach
> [mm]\sigma(t)[/mm] auf? Wie würde ich dann das Integral
> auseinanderbekommen?
>
> Sicherlich merkt man an meiner Fragestellung, dass ich
> eigentlich gar keine Ahnung davon habe, was ich tue. Ein
> paar erklärende Worte dazu wären klasse.
Entwickle zunächst [mm]\bruch{5}{s^{2}+1}[/mm] in eine Reihe, in dem Du eine Polynomdivision durchführst.
Dann erhältst Du
[mm]\bruch{5}{s^{2}+1}=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*f_{k}\left(s\right)[/mm]
Aufgrund der Linearität der Laplace-Transformation gilt:
[mm]\mathcal{L}^{-1}\left(\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*f_{k}\left(s\right)\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\mathcal{L}^{-1}\left(f_{k}\left(s\right)\right)[/mm]
Dies kann man dann sicherlich auf Reihenentwicklungen von bekannten Funktionen zurückführen.
Wenn Du mehr dazu wissen willst: ![[]](/images/popup.gif) Inverse Laplace-Transformation
>
> Gruß
> Slartibartfast
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
mit Polynomdivision haben wir das noch nicht gemacht, wohl aber mit PBZ. Da mir das aber zu komplex ist und der PD-Ansatz sicher noch kommt, will ich das mal versuchen.
Meine Reihe wäre dann:
[mm] $-5\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{s^{2k}}$
[/mm]
Aber wie funktioniert die Übertragung in den Zeitbereich? Gliedweise - klar, aber gibts dafür ne Regel?
Gruß
Slartibartfast
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Hallo Slartibartfast,
> Hallo Mathepower,
>
> mit Polynomdivision haben wir das noch nicht gemacht, wohl
> aber mit PBZ. Da mir das aber zu komplex ist und der
> PD-Ansatz sicher noch kommt, will ich das mal versuchen.
>
> Meine Reihe wäre dann:
> [mm]-5\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{s^{2k}}[/mm]
Die Reihe stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie funktioniert die Übertragung in den Zeitbereich?
> Gliedweise - klar, aber gibts dafür ne Regel?
Es ist dann
[mm]\mathcal{L}^{-1}\left(-5\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{s^{2k}}\right)=\summe_{k=1}^{\infty}5*\left(-1\right)^{k+1}\cdot{}\mathcal{L}^{-1}\left(\bruch{1}{s^{2k}}\right)[/mm]
Demnach muss man zur Unterfunktion [mm]\bruch{1}{s^{2k}}[/mm] die Oberfunktion bestimmen.
Mit PBZ geht das so:
[mm]\mathcal{L}^{-1}\left(\bruch{5}{s^{2}+1}\right)= \mathcal{L}^{-1}\left(A*\bruch{1}{s+i}+B*\bruch{1}{s-i}\right)=A*\mathcal{L}^{-1}\left(\bruch{1}{s+i}\right)+B*\mathcal{L}^{-1}\left(\bruch{1}{s-i}\right)[/mm]
,wobei bei A und B aus
[mm]\bruch{5}{s^{2}+1}=\bruch{A}{s+i}+\bruch{B}{s-i}[/mm]
zu bestimmen sind.
>
> Gruß
> Slartibartfast
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
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> Demnach muss man zur Unterfunktion [mm]\bruch{1}{s^{2k}}[/mm] die
> Oberfunktion bestimmen.
>
und genau daran scheitere ich. Wie geht sowas? Oder hast du ne Literaturermpfehlung?
> Mit PBZ geht das so:
>
> [...]
Die Koeffizienten sind nicht das Problem.
A=-B mit [mm] $A=-\bruch{5}{2i}$
[/mm]
> [mm] $\mathcal{L}^{-1}\left(\bruch{1}{s\pm i}\right) [/mm] $
hier hängts dann wieder... kommt dann wieder die Reihenentwicklung? Aber dann hätte ich ja auf die PBZ verzichten können???
Gruß
Slartibartfast
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Hallo Slartibartfast,
> Hallo Mathepower,
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> >
> > Demnach muss man zur Unterfunktion [mm]\bruch{1}{s^{2k}}[/mm] die
> > Oberfunktion bestimmen.
> >
>
> und genau daran scheitere ich. Wie geht sowas? Oder hast du
> ne Literaturermpfehlung?
Ich hab eine Korrespondenztabelle der Laplace-Integrale.
>
>
> > Mit PBZ geht das so:
> >
> > [...]
>
>
> Die Koeffizienten sind nicht das Problem.
>
> A=-B mit [mm]A=-\bruch{5}{2i}[/mm]
>
> > [mm]\mathcal{L}^{-1}\left(\bruch{1}{s\pm i}\right)[/mm]
>
> hier hängts dann wieder... kommt dann wieder die
> Reihenentwicklung? Aber dann hätte ich ja auf die PBZ
> verzichten können???
Die Reihenentwicklung führt dann wieder auf die Bestimmung der Oberfunktion
zur Unterfunktion [mm]\bruch{1}{s^{k}}[/mm]
Wie habt ihr das seither gemacht?
>
>
> Gruß
> Slartibartfast
Gruß
MathePower
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