un- und bestimmte Integral berechnen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:33 Fr 30.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moritz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie das un- und bestimmte Integral:
>
> a.)[mm]\integral_{1}^{2} \bruch{\left( x^2 + 5 \right)^2}{x^4}\, dx[/mm]
>
> b.)[mm]\integral_{a}^{b} \bruch{dx}{2x}\,[/mm]
> c.)[mm]\integral_{}^{} \bruch{x^3 + x}{5x^3}\, dx[/mm]
>
>
> Ich erkenne bei der ersten die Quotientenregel zum
> Differenzieren, bei b. kann ich nur umformen und schätze
> dann mal das man den Logorithmus verwenden muss, aber dann
> hört es leider auch schon auf. Wie man da
> rückdifferenzieren soll ist mir ein Rätsel. Wäre für ne'
> Lösung/ne' Lösungsweg mehr als dankbar *g
Es ist einfacher, als du denkst (eine Quotientenregel der Integration gibt es meiner Meinung nach gar nicht).
Und zwar lautet der Tipp: Zähler ausmultiplizieren, anschließend auf mehrere Brüche verteilen, kürzen und schließlich jeden Summanden einzeln integrieren.
Für den letzten Schritt ist nur die Potenzregel
[mm] $f(x)=x^n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ F(x)=\bruch{1}{n+1}x^{n+1}$
[/mm]
nötig.
> Für Nr. b & c hab ich sogar Lösungen bzw. Ergebnisse, aber
> auf diese kann ich nicht ganz rückschließen. Vielleicht
> helfen sie aber bei der Lösung des Problems.
> Lösung für b.) [mm]\bruch{1}{2}Ln\left( \bruch{b}{a} \right)[/mm]
Hier benötigst du noch eine Stammfunktion zu [mm] $f(x)=\bruch{1}{x}$; [/mm] die ist [mm] $F(x)=\ln [/mm] x+C$ (das würde ich neben obiger Potenzregel auswendig lernen).
Wir können dann nämlich schreiben (sehr ausführlich):
[mm] $\integral_{a}^{b} \bruch{dx}{2x}\,$
[/mm]
[mm] $=\integral_{a}^{b} \bruch{1}{2x}\,dx$
[/mm]
[mm] $=\integral_{a}^{b} \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x}\,dx$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b} \bruch{1}{x}\,dx$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{2}*\left[ \ln x\right]_{a}^{b}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{2}*\left[ \ln b-\ln a \right]$ [/mm] | Logarithmusgesetz anwenden
[mm] $=\bruch{1}{2}*\ln \bruch{b}{a}$
[/mm]
> Lösung für c.) [mm]\bruch{1}{5} * \left( x - \bruch{1}{x} \right) + c[/mm]
Das müßte dir alleine gelingen, es geht genauso wie in a)
Probier' es doch mal und melde dich mit deinen Versuchen/Ergebnissen  !
> Ps.: Eure Matheformel-Darstellungsfunktion is ja mal super
> krass. Riesen Respekt!
Danke, aber das Lob geht direkt an den Autor von TeX (![[]](/images/popup.gif) Donald Knuth) und an das LaTeX-Projekt!
Ich würde mir aber wünschen, Don Knuth wäre bei TeX an manchen Stellen pingeliger gewesen, so muß ich mir echt überlegen, auf den professionellen Textsatz von Word umsteigen 
> Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren
> gestellt:
> http://www.htwm.de/mathe/forum/viewtopic.php?t=74
>
> http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=227386#post227386
Danke für den Hinweis.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Fr 30.07.2004 | | Autor: | mrb |
woha!
Wir haben uns grad inner Lerngruppe getroffen und die Thematik ausführlich diskuttiert. Aber ohne deine Hilfe und die Hilfe von buba aus chemieonline.de wäre das der Garaus für uns gewesen. Fazit: In der Gemeinschaft ist alles zu bewältigen und ich hab selten ein so durchdachtes Forum wie dieses gesehen! Ich danke! Nein, wir danken!
greets Moritz
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