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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:28 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | [mm] \phi [/mm] -> [mm] \int_a^b \phi(x) [/mm] defeniert eine Abbildung T:[a,b] (Treppenfunktion)-> [mm] \IR, [/mm] der Wert des Integrals hängt nicht ab von der Wahl der Repräsentaten für die Zerlegung von [mm] \phi [/mm] |
Hallo,
Ich hab zu dem Beweis im Skript 2 Fragen. Sie beziehen sich darauf, ob ich den beweis richtig verstehe
Der Beweis im SKriptum:
Sei Z: a= [mm] x_0 [/mm] < ..< [mm] x_n [/mm] =b
und Z': a= [mm] t_0 <...
zwei Zerlegungen für [mm] \phi
[/mm]
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] c_j [/mm] (x [mm] \in ]x_{j-1},x_j[,j=1,..,n) [/mm] und [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] c_k' [/mm] (x [mm] \in ]t_{k-1},t_k[,k=1,..,m) [/mm]
und [mm] \int_Z \phi [/mm] := [mm] \sum_{j=1}^n c_j (x_j [/mm] - [mm] x_{j-1})
[/mm]
[mm] \int_{Z'} \phi [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^m c_k' (t_k [/mm] - [mm] t_{k-1})
[/mm]
Wir müssen zeigen [mm] \int_Z \phi [/mm] = [mm] \int_{Z '} \phi
[/mm]
Fall 1:Z [mm] \subseteq [/mm] Z'
> Heißt doch dass es mehr Unterteilungen bez. t als x gibt? Und die Unterteilungspunkte bez. x sind automatisch auch Unterteilungspunkte bez t. Ist das korrekt?
Für alle j [mm] \in \{0,..n\} [/mm] wir können finden [mm] k_j [/mm] so dass [mm] x_j [/mm] = [mm] t_k__j [/mm] . So haben wir:
[mm] x_{j-1} [/mm] = [mm] t_k__{j-1} [/mm] < [mm] t_{1+k}__{k-1}<...
und [mm] c_j [/mm] = [mm] c_l' [/mm] wenn [mm] k_{j-1} [/mm] < l <= [mm] k_j
[/mm]
> Heißt das wir unterteilen die Schritte bezüglich t nocheinmal in Teilschritte?
> Warum gilt [mm] c_j [/mm] = [mm] c_l' [/mm] ?
Dafür:
[mm] \int_{Z'} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^m c_k' (t_k [/mm] - [mm] t_{k-1} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n \sum_{l=k_{j-1} +1} c_l' (t_l -t_{l-1} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n c_j \sum_{l=k_{j-1}+1} (t_l [/mm] - [mm] t_{l-1}) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n c_j (x_j [/mm] - [mm] x_{j-1}) [/mm] = [mm] \int_Z \phi
[/mm]
Fall2 Z' [mm] \subseteq [/mm] Z äquivalent
LG,
quasimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 09.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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