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| Aufgabe | P ist die Gleichverteilung auf [mm] \Omega={0,1}^n.
[/mm]
[mm] A_i={(a_1,..,a_n)\in \Omega |a_i=1}, [/mm] i=1,..,n
[mm] B={(a_1,..,a_n)\in \Omega| a_1+a_2+...+a_n gerade}
[/mm]
Welche der drei Familien sind unabhängig?
1. [mm] A_1,...,A_n
[/mm]
2. [mm] A_1,...,A_n,B
[/mm]
3. [mm] A_2,...,A_n,B [/mm] |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier Unabhängigkeit nachprüfen kann.
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> P ist die Gleichverteilung auf [mm]\Omega={0,1}^n.[/mm]
> [mm]A_i={(a_1,..,a_n)\in \Omega |a_i=1},[/mm] i=1,..,n
> [mm]B={(a_1,..,a_n)\in \Omega| a_1+a_2+...+a_n gerade}[/mm]
> Welche
> der drei Familien sind unabhängig?
>
> 1. [mm]A_1,...,A_n[/mm]
> 2. [mm]A_1,...,A_n,B[/mm]
> 3. [mm]A_2,...,A_n,B[/mm]
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier Unabhängigkeit
> nachprüfen kann.
> Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Na klar: wann heißt denn eine Familie unabhängig ?
FRED
>
>
> Mathegirl
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stochastische Unabhängigkeit wurde geprüft mit:
[mm] P(A\cap [/mm] B)=P(A)*P(B)
Das kann ich hier aber irgendwie nicht anwenden.
Dann haben wir noch definiert:
man nennt [mm] A_1,..,A_n [/mm] unabhängig, wenn gilt:
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{k}A_{i_j}=\produkt_{i=1}^{k}P(A_{i_j} [/mm]
und:
1.für alle [mm] 1\le k\le [/mm] n und [mm] 1\le i_1\le...\le i_k\le [/mm] n beliebig, dann ist auch die teilfamilie [mm] A_{i_1},...,A_{i_k} [/mm] unabhängig.
2. WEnn [mm] B_i=A_i [/mm] oder [mm] B_i=\overline{A}_i [/mm] dann sind auch [mm] B_1,..,B_n [/mm] unabhängig.
Alleridngs weiß ich nicht wie genau ich das zeigen kann.
Ich würde sagen das 1.und 3. sind ist unabhängig, das 2. nicht
MfG
mathegirl
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:24 So 04.12.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Kann mir jemand hierbei weiterhelfen?
MfG
Mathegirl
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Hallo,
> stochastische Unabhängigkeit wurde geprüft mit:
> [mm]P(A\cap[/mm] B)=P(A)*P(B)
>
> Das kann ich hier aber irgendwie nicht anwenden.
>
> Dann haben wir noch definiert:
> man nennt [mm]A_1,..,A_n[/mm] unabhängig, wenn gilt:
>
> [mm]P(\bigcap_{i=1}^{k}A_{i_j}=\produkt_{i=1}^{k}P(A_{i_j}[/mm]
>
> und:
> 1.für alle [mm]1\le k\le[/mm] n und [mm]1\le i_1\le...\le i_k\le[/mm] n
> beliebig, dann ist auch die teilfamilie [mm]A_{i_1},...,A_{i_k}[/mm] unabhängig.
>
> 2. WEnn [mm]B_i=A_i[/mm] oder [mm]B_i=\overline{A}_i[/mm] dann sind auch [mm]B_1,..,B_n[/mm] unabhängig.
>
> Alleridngs weiß ich nicht wie genau ich das zeigen kann.
>
> Ich würde sagen das 1.und 3. sind ist unabhängig, das 2. nicht
Dann finde zu 2 ein Beispiel, wo die Definition der Unabhängigkeit nicht erfüllt ist.
(Tipp: Offenbar ist B eindeutig bestimmt, wenn [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] bekannt sind).
Zu 1) ist Unabhängigkeit aufgrund der Gleichverteilung klar.
Zu 3). Unabhängigkeit von [mm] A_2,\ldots,A_n [/mm] ist nach 1) klar. Es ist [mm] P(B)=\tfrac{1}{2}. [/mm] Rechne damit mal die Definition nach.
LG
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Das verstehe ich nicht ganz wie ich bei 2 ein Beispeil finden soll, dass nicht unabhängig ist. Ich habe das mit der Unabhängigkeit auch nocht nicht so ganz verstanden. Die Definition ist ja klar, aber das Anwenden auf die Beispiele ist das Problem.
1) Ist ja quasi das was in der Def. als unabhängig def, wurde.
3) stimmt das also das die Familie unabhängig ist mit B?
B muss ja insgesamt gerade sein oder die einzelnen [mm] a_i?
[/mm]
Also ist c doch nicht unabhängig?
bei 2) weiß ich nicht wie ich ein Gegenbeispiel herleiten soll.
MfG
Mathegirl
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> Das verstehe ich nicht ganz wie ich bei 2 ein Beispeil
> finden soll, dass nicht unabhängig ist. Ich habe das mit
> der Unabhängigkeit auch nocht nicht so ganz verstanden.
> Die Definition ist ja klar, aber das Anwenden auf die
> Beispiele ist das Problem.
>
> 1) Ist ja quasi das was in der Def. als unabhängig def,
> wurde.
> 3) stimmt das also das die Familie unabhängig ist mit B?
> B muss ja insgesamt gerade sein oder die einzelnen [mm]a_i?[/mm]
Die Summe der [mm] a_i [/mm] ist gerade, wenn das Ereignis B eintritt.
> Also ist c doch nicht unabhängig?
Ich würde sagen schon.
Du musst einfach mal rechnen.
Was ist [mm] P(B\cap A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k}) [/mm] für [mm] $1\le i_1\le\ldots\le i_k\le [/mm] n$ mit [mm] $1\le k\le [/mm] n$ ?
>
> bei 2) weiß ich nicht wie ich ein Gegenbeispiel herleiten soll.
Was ist [mm] $P(A_1\cap\ldots\cap A_n\cap [/mm] B)$ und was ist [mm] P(B)*\prod_{i=1}^n P(A_i)? [/mm] Nach Def der Unabhängigkeit müssten beide übereinstimmen, wie ist es hier?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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