unabhängige Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, ich verstehe nicht ganz, was es heißt, dass zwei Zufallsvariablen unabhängig sind. Ich hatte nie Wahrscheinlichkeitsrechnung und brauche aber nun ein kleines Grundwissen für diese Vorlesung. Mein Beispiel ist folgendes:
Sei X ~ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.4 }
[/mm]
Daraus abgeleitete Zufallsvariablen:
[mm] G=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } Z \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{falls } Z \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
und
[mm] M=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } Z \in \{2,3\} \\ 0, & \mbox{falls } Z \in \{1,4\} \end{cases}
[/mm]
Was heißt hier Z gerade? Z ist doch eine Abbildung, wie kann die gerade sein? Mir kommt es ein wenig so vor, als ist man hier ziehmlich ungenau.
Mich würde jetzt interessieren, ob M und G unabhängig voneinander sind. Die Ereignisse (0 und 1), von M und G heißen zwar gleich aber bedeuten doch was ganz anderes. Wie kann ich hier ausrechnen, ob diese unabhängig sind.
Ich hätte gesagt [mm] P(E_{G} \cap E_{M}) [/mm] = [mm] P(\{1_{G}, 0_{G}\} \cap \{1_{M}, 0_{M}\}) [/mm] = [mm] P(\{\}) [/mm] = 0 und [mm] P(E_{G})*P(E_{M}) [/mm] = 1, also nicht unabhängig.
Wenn mir jemand sagen könnte, was hier falsch/richtig ist wäre ich echt unedlich dankbar.
Gruß
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> Hallo, ich verstehe nicht ganz, was es heißt, dass zwei
> Zufallsvariablen unabhängig sind. Ich hatte nie
> Wahrscheinlichkeitsrechnung und brauche aber nun ein
> kleines Grundwissen für diese Vorlesung. Mein Beispiel ist
> folgendes:
>
> Sei X ~ [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.4 }[/mm]
>
> Daraus abgeleitete Zufallsvariablen:
>
> [mm]G=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } Z \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{falls } Z \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> und
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> [mm]M=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } Z \in \{2,3\} \\ 0, & \mbox{falls } Z \in \{1,4\} \end{cases}[/mm]
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> Was heißt hier Z gerade? Z ist doch eine Abbildung, wie
> kann die gerade sein? Mir kommt es ein wenig so vor, als
> ist man hier ziehmlich ungenau.
Ich vermute mal, dass X und Z hier gleich sein sollen, also Z eine Zufallsvariable ist mit
P(Z=1)=0.2, P(Z=2)=0.3, P(Z=3)=0.1 und P(Z=4)=0.4
Die Zufallsvariable (=Abbildung) Z kann die Werte 1,2,3,4 annehmen, somit ergibt das Ereignis "Z gerade [mm] $\Leftrightarrow Z\in\{2,4\}$" [/mm] einen Sinn.
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> Mich würde jetzt interessieren, ob M und G unabhängig
> voneinander sind. Die Ereignisse (0 und 1), von M und G
> heißen zwar gleich aber bedeuten doch was ganz anderes.
> Wie kann ich hier ausrechnen, ob diese unabhängig sind.
>
> Ich hätte gesagt [mm]P(E_{G} \cap E_{M})[/mm] = [mm]P(\{1_{G}, 0_{G}\} \cap \{1_{M}, 0_{M}\})[/mm]
> = [mm]P(\{\})[/mm] = 0 und [mm]P(E_{G})*P(E_{M})[/mm] = 1, also nicht
> unabhängig.
Deine Notation hier verstehe ich nicht, mir ist nicht klar, was du hier gerechnet hast.
Unabhängigkeit von M und G bedeutet, dass für [mm] i,j\in\{0,1\} [/mm] gilt
P(G=i und M=j)=P(G=i)*P(M=j),
Dies kannst du nun für verschiedene Kombinationen von i und j durchrechnen, z.B. mit i=j=1
P(G=1 und M=1)=P(Z gerade und [mm] Z\in\{2,3\})=P(Z=2)=0.3 [/mm] und
P(G=1)*P(M=1)=0.7*0.4
Es folgt, dass G und M nicht unabhängig sind.
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> Wenn mir jemand sagen könnte, was hier falsch/richtig ist
> wäre ich echt unedlich dankbar.
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Sin777 |
Tut mir leid, dass ich nochmal nachhake und schonmal vielen Dank für deine Antwort. Und ja Z = X, da hab ich mich verschrieben.
Du schreibst i, j aus [mm] \{0,1\}. [/mm] Heißt dass, dass man nur Zufallsvariablen auf unabhängigkeit prüfen kann, deren Wertebereich gleich ist?
Was heißt P(G=i und M=j)=P(G=i)*P(M=j)? Heißt das, im Fall i=j=1, dass man alle Werte aus dem Definitionsbereich von G nimmt, die in den Wert 1 abbilden, also [mm] P(\{2,4\} \cap \{2,3\}).
[/mm]
Wie würde man denn allgemein zeigen, dass zwei Zufallsvariablen unabhängig sind? Ich kann ja nicht alle Funktionswertekombinationen durchgehen.
Und deine Schreibweise Z [mm] \in \{2,4\} [/mm] finde ich auch komisch, so wie vieles bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 und 4 sind doch wieder keine Abbildungen, dann kann Z auch kein Element daraus sein. Wie würde diese verkürzte Schreibweise formal korrekt aussehen?
Vielen, vielen Dank :)
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> Tut mir leid, dass ich nochmal nachhake und schonmal vielen
> Dank für deine Antwort. Und ja Z = X, da hab ich mich
> verschrieben.
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> Du schreibst i, j aus [mm]\{0,1\}.[/mm] Heißt dass, dass man nur
> Zufallsvariablen auf unabhängigkeit prüfen kann, deren
> Wertebereich gleich ist?
Nein. Im allgemeinen durchläuft i alle möglichen Werte von G und j alle möglichen Werte von M.
>
> Was heißt P(G=i und M=j)=P(G=i)*P(M=j)? Heißt das, im
> Fall i=j=1, dass man alle Werte aus dem Definitionsbereich
> von G nimmt, die in den Wert 1 abbilden, also [mm]P(\{2,4\} \cap \{2,3\}).[/mm]
Ja, so etwa. G=1 bedeutet [mm] Z\in\{2,4\} [/mm] und somit [mm] P(G=1)=P(Z\in\{2,4\})=P(Z=2)+P(Z=4), [/mm] analog
P(M=1)=P(Z=2)+P(Z=3)
G=1 und M=1 heißt, dass beide Bedingungen erfüllt sind, was nur bei Z=2 der Fall ist, also gilt
P(G=1 und M=1)=P(G=M=1)=P(Z=2)
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> Wie würde man denn allgemein zeigen, dass zwei
> Zufallsvariablen unabhängig sind? Ich kann ja nicht alle
> Funktionswertekombinationen durchgehen.
Doch. Die allgemeine Definition von Unabhängigkeit erfordert das.
Jedoch ist es meist so, dass die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen aus Modellannahmen folgt und man das nicht "zu Fuß" ausrechnen muss.
Ein Beispiel wäre das Würfeln von zwei Würfeln X und Y. Die Modellannannahme besagt, dass die Augenzahlen unabhängig sind und daraus folgt z.B. P(X=2 und [mm] Y=3)=P(X=2)*P(Y=3)=\frac{1}{6}*\frac{1}{6}
[/mm]
Das heißt man geht den umgekehrten Weg: Die Unabhängigkeit wird vorausgesetzt und daraus lassen sich Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Bei der Aufgabe war es andersrum: Die Wahrscheinlichkeiten waren gegeben und daraus soll geprüft werden, ob Unabhängigkeit vorliegt.
Und um zu zeigen, dass zwei Zufallsvariablen nicht unabhängig sind, braucht man nur ein einziges Wertepaar i,j mit [mm] P(X=i)*P(Y=j)\ne [/mm] P(X=i und Y=j)
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> Und deine Schreibweise Z [mm]\in \{2,4\}[/mm] finde ich auch
> komisch, so wie vieles bei der
> Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 und 4 sind doch wieder keine
> Abbildungen, dann kann Z auch kein Element daraus sein. Wie
> würde diese verkürzte Schreibweise formal korrekt
> aussehen?
Formal ist eine (reellwertige) Zufallsvariable eine Abbildung [mm] X:\Omega\to\IR, [/mm] wobei [mm] \Omega [/mm] ein Warscheinlichkeitsraum versehen mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß P (=Funktion, die Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] Zahlen zwischen 0 und 1 zuordnet) ist.
Für eine Teilmenge [mm] A\subset\IR [/mm] ist dann [mm] P(X\in A)=P(\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in A\})
[/mm]
Und das Ereignis "X gerade" bezeichnet dann die Menge alle [mm] \omega\in\Omega, [/mm] für die [mm] X(\omega) [/mm] eine gerade Zahl ist.
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> Vielen, vielen Dank :)
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