unabhängigkeit von Funktionen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mi 07.12.2005 | | Autor: | mariposa |
Hallo,
wir sollen zeigen, dass wenn A und B stochastisch unabhängig sind, auch die Indikatorfunktionen [mm] 1_{A} [/mm] und [mm] 1_{B} [/mm] stochastisch unanhängig sind. Leider weiß ich nur die Definition für die Unabhängigkeit von Ereignissen und hab keine Ahnung, wie ich das auf Funktionen anwenden soll.
Vielen Dank für eure Hilfe
Maike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Do 08.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die beiden Indikatorfunktionen [mm] $1_A$ [/mm] und [mm] $1_B$ [/mm] sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die von ihnen erzeugten [mm] $\sigma$-Algebreb $\sigma(1_A)=\{\emptyset, A, A^c,\Omega\}$ [/mm] und [mm] $\sigma(1_B)=\{\emptyset, B, B^c,\Omega\}$ [/mm] stochastisch unabhängig sind.
Zu zeigen ist also:
$P(X [mm] \cap [/mm] Y) = P(X) [mm] \cdot [/mm] P(Y)$
für alle $X [mm] \in \sigma(1_A)$ [/mm] und $Y [mm] \in \sigma(1_B)$.
[/mm]
Das ist aber unter der gegebenen Voraussetzung nahezu trivial.
Liebe Grüße
Stefan
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