unbest. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das unbestimmte Integral von:
[mm] \integral{e^xsin(x) dx}. [/mm] |
Mein Weg sieht wie folgt aus:
[mm] \integral{e^xsin(x) dx}= e^xsin(x)-\integral{e^xcos(x)}dx
[/mm]
(durch die Formel: [mm] \integral{u'v}dx=uv-\integral{uv'}dx [/mm] bin ich drauf gekommen. )Als nächstes habe ich [mm] e^x [/mm] ausgeklammert:
[mm] \integral{e^xsin(x) dx}=e^x[sin(x)-\integral{cos(x)}dx]
[/mm]
Nur wie geht man jetzt weiter vor. Ich weiß zwar dass als Ergebnis folgendes rauskommen soll,nur wie kommt man darauf?:
[mm] \integral{e^xsin(x) dx}=\bruch{1}{2} e^x(sin(x)-cos(x)
[/mm]
Weiß das zufällig jemand? Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerlilly!
Du darfst [mm] $e^x$ [/mm] nicht aus dem Integral ausklammern, da dort noch die Variable $x_$ drinsteckt. Wende auf [mm] $\integral{e^x*\sin(x) \ dx}$ [/mm] nochmals die partielle Integration an.
Gruß
Loddar
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[mm] \integral{e^xcos(x)}dx=e^xcos(x)-\integral{e^x-sin(x)}dx
[/mm]
--> [mm] \integral{e^xsin(x)}dx=e^xsin(x)-[e^xcos(x)-\integral{e^x-sin(x)}dx]
[/mm]
ok,und nun? Lg
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Hallo Tigerlilly,
> [mm]\integral{e^xcos(x)}dx=e^xcos(x)-\integral{e^x-sin(x)}dx[/mm]
>
> -->
> [mm]\integral{e^xsin(x)}dx=e^xsin(x)-[e^xcos(x)-\integral{e^x-sin(x)}dx][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
So ist ist besser:
[mm]\integral{e^xsin(x)}dx=e^xsin(x)-[e^xcos(x)-\integral{e^x\left(-sin(x)\right)}dx][/mm]
>
> ok,und nun? Lg
Jetzt muss Dir auffallen, daß rechts dasselbe Integral steht wie links.
Gruß
MathePower
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jop,das sehe ich ja nur wenn das ergebnis das sein soll:
[mm] \bruch{1}{2}e^x(sin(x)-cos(x)) [/mm] woher kommt dieses [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
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Hallo Tigerlilli,
> jop,das sehe ich ja nur wenn das ergebnis das sein soll:
>
> [mm]\bruch{1}{2}e^x(sin(x)-cos(x))[/mm] woher kommt dieses
> [mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
[mm]\integral{e^xsin(x)}dx=e^xsin(x)-[e^xcos(x)-\integral{e^x\left(-sin(x)\right)}dx] [/mm]
[mm]\gdw \blue{\integral{e^{x} \ \sin\left(x\right)} \ dx}=e^{x}*\sin\left(x\right)-e^{x}\cos\left(x\right)-\blue{\integral{e^{x}\sin\left(x\right)} \ dx} [/mm]
[mm]\gdw \blue{2*\integral{e^{x} \ \sin\left(x\right)} \ dx}=e^{x}*\sin\left(x\right)-e^{x}\cos\left(x\right) [/mm]
[mm]\gdw \blue{\integral{e^{x} \ \sin\left(x\right)} \ dx}=\blue{\bruch{1}{2}}*e^{x}*\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)\right) [/mm]
Gruß
MathePower
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