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| Aufgabe | Berechnen Sie das unbestimmte Integral folgender Funktion:
[mm] \bruch{1}{cos(x)+sin(x)} [/mm] |
Hallo Leute, ich sitze jetzt schon seit ner weile an dieser Aufgabe rum und komme nicht weiter.
Meine Idee war über Substitution zum Endergebniss zu kommen mit
z=tan( [mm] \bruch{x}{2} [/mm] )
dann hab ich erstmal gezeigt bzw bewiesen das dx= [mm] \bruch{2dz}{1+z^{2}} [/mm] ist, sin(x)= [mm] \bruch{2z}{1+z} [/mm] und [mm] cos(x)=\bruch{1-z^{2}}{1+z^{2}} [/mm]
ich hoffe erstmal das das richtig ist?!
das ganze dann substituiert in die gegebene Gleichung kommt dann das dabei raus...
[mm] \integral_{}^{}\bruch{1}{\bruch{1-z^{2}}{1+z^{2}} + \bruch{2z}{1+z}} [/mm] * [mm] \bruch{2dz}{1+z^{2}}
[/mm]
ich bin aber irgendwie grad unfähig das umzuformen... kann mir da jemand eventuell weiter helfen oder eine andere Methode zeigen?
wär nett wenn ihr mir weiter helft!
Lg Seamus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 08.11.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
bring mal die Bruchsumme im Nenner auf einen Hauptnenner (einfach multiplizieren) und führe danach das 1 / aus.
Dann kannst du mit dem dahinterstehenden Faktor kürzen. Es ergibt sich ein gebrochen rat. Term, den man mit der Partialbruchzerlegung weiter bearbeiten kann.
LG
Will
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Also hier erstmal die Umformung wie oben beschrieben
[mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{(1+z)dz}{(1-z^{2})(1+z)+2z(1+z^{2})}}
[/mm]
aber müsste für Partialbruchzerlegung nicht im Nenner ein Produkt stehen und nicht wie hier eine Summe?
lg Seamus
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Hallo seamus321,
> Also hier erstmal die Umformung wie oben beschrieben
>
> [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{(1+z)dz}{(1-z^{2})(1+z)+2z(1+z^{2})}}[/mm]
>
> aber müsste für Partialbruchzerlegung nicht im Nenner ein
> Produkt stehen und nicht wie hier eine Summe?
>
Multipliziere die Summe im Nenner aus,
dann erhältst Du ein Polynom 3. Grades.
Von diesem Polynom bestimmst Du dann die Nullstellen.
Dann kannst Du den Ansatz entsprechend der Nullstellen wählen.
>
> lg Seamus
Gruss
MathePower
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War ne gute Idee nur hab ich grad an den Nullstellen gesessen und erstmal keine gefunden...
ein Mathe Programm hat mir dann diese ausgerechnet:
x = -0,2955977425220848
1
x = 0,6477988712610423 - 1,7214332372471368·î
2
x = 0,6477988712610423 + 1,7214332372471368·î
3
und das ist leider auch nicht das wahre -.-
hat noch jemand andere Ideen oder Vorschläge? oder hab ich früher schon einen Fehler gemacht?
Lg Seamus
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Hallo seamus321,
> War ne gute Idee nur hab ich grad an den Nullstellen
> gesessen und erstmal keine gefunden...
>
> ein Mathe Programm hat mir dann diese ausgerechnet:
> x = -0,2955977425220848
> 1
> x = 0,6477988712610423 - 1,7214332372471368·î
> 2
> x = 0,6477988712610423 + 1,7214332372471368·î
> 3
>
> und das ist leider auch nicht das wahre -.-
>
> hat noch jemand andere Ideen oder Vorschläge? oder hab ich
> früher schon einen Fehler gemacht?
Ja, der Nenner des Integranden stimmt nicht.
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\bruch{2*z}{1+z^{2}}+\bruch{1-z^{2}}{1+z^{2}}} * \bruch{2}{1+z^{2}}\ dz}=\integral_{}^{}{\bruch{2}{2*z+1-z^{2}} \ dz}[/mm]
>
> Lg Seamus
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 08.11.2009 | | Autor: | seamus321 |
ohhhh mann... Ich danke dir vielmals!!! habs grad auch auf meiner Zettelwirtschaft entdeckt das sin(x) natürlich [mm] \bruch{2z}{1+z^{2}} [/mm] sein muss... dann werd ich mich nochmal dran setzen aber jetzt bekomm ich bestimmt auch das richtige raus...
lg Seamus
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