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unbestimmtes integral: tan(x)dx mit substitutionen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:06 Mo 05.06.2006
Autor: mario1984

Aufgabe
Aufgabe: gesucht wird das Integral $F(x) = [mm] \integral{ tan(x)dx}$ [/mm]
mit hilfe der substitutionen $x = [mm] \bruch{\alpha}{2}$ [/mm] und $t = [mm] \tan\bruch{\alpha}{2}$, $d\alpha [/mm] = [mm] \bruch{2dt}{1+t^2}$ [/mm]

komm bei folgender aufgabe nicht weiter, also noch nicht mal einen ansatz wegen den substituionen...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
unbestimmtes integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:50 Di 06.06.2006
Autor: ardik

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo mario,

[willkommenmr]

[Zunächst: ich habe in Deiner Aufgabenstellung die Formeln "verhübscht", schau mal, dass da jetzt immer noch das steht, was Du meinst! Vor allem habe ich das Integralzeichen hinzugefügt.]

Hast Du so gar keinen eigenen (Halb-)Ansatz, den Du schon hättest präsentieren können?

Vielleicht hilft dies etwas weiter:

$x = \bruch{\alpha}{2}  \Rightarrow dx = \bruch{d\alpha}{2}$

$\integral{ tan(x)dx} = \bruch{1}{2}\integral{ tan\bruch{\alpha}{2}d\alpha$

mit [mm]t = \tan\bruch{\alpha}{2}[/mm] und [mm]d\alpha = \bruch{2dt}{1+t^2}[/mm]

$  [mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}\integral{ t*\bruch{2dt}{1+t^2}} [/mm] = [mm] \integral{ \bruch{t}{1+t^2}dt}$ [/mm]  <= Edith hat hier noch den Zwischenschritt verdeutlicht.

Klappt's jetzt? (Ich denke da an Partialbruchzerlegung, aber vielleicht geht's auch anders.) Edit: Natürlich geht es anders besser! Danke, Loddar.
Ich hoffe, ich habe um diese Uhrzeit noch richtig gedacht...

Schöne Grüße,
ardik

Bezug
                
Bezug
unbestimmtes integral: Naja ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:58 Di 06.06.2006
Autor: Loddar

Moin Frank!



> [mm]\Rightarrow \integral{ \bruch{t}{1+t^2}dt}[/mm]
>  
> Ich denke da an Partialbruchzerlegung,

Partialbruchzerlegung nicht gerade ... aber wenn man den Bruch mit $2_$ erweitert, steht im Zähler die Ableitung des Nenners ;-) .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
unbestimmtes integral: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:38 Di 06.06.2006
Autor: mario1984

danke für die schnelle antwort, aber ich weiß nicht wie ich das mit t=... substitutionieren soll.
weiß nicht wo das t dann eingesetzt werden soll, weil da steht ja nur tan(x)dx, nichts mit t

Bezug
                        
Bezug
unbestimmtes integral: siehe oben!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 06.06.2006
Autor: Loddar

Hallo Mario!


ardik hat Dir in seiner Antwort doch bereits die vollständige Substitution gezeigt, einschließlich Differential umwandeln von $dx_$ in [mm] $d\alpha$ [/mm] und anschließend in $dt_$ .


An welcher Stelle genau hängst Du denn gerade?


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
unbestimmtes integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Di 06.06.2006
Autor: mario1984

dazu nur noch stammfunktion bilden und am ende für t wieder: $ t = [mm] \tan\bruch{\alpha}{2} [/mm] $ einsetzen bzw x = aplha/2  und das wars?

Bezug
                                        
Bezug
unbestimmtes integral: Ja! ;-)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Di 06.06.2006
Autor: ardik

Genau!

So einfach ist das! ;-)

Und Du kannst Dein Ergebnis dann ja vergleichen, mit dem, was Du in irgendeinem Tabellenwerk findest als Stammfunktion für [mm] $\tan [/mm] x$.
Oder natürlich hier präsentieren.

Viel Erfolg!  [ballon]
wünscht
  ardik

Bezug
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