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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 23.04.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass fuer die Konvergenz des uneigentlichen Integrals [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] die Existenz von [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) nicht notwendig ist. Betrachten Sie zu diesem Zweck das Beispiel [mm] \integral_{1}^{\infty}{sin(x^{2}) dx} [/mm] und schreiben Sie den Integranden in der Form [mm] \bruch{1}{2x}*2x*sin(x^{2}) [/mm] |
huhu, da bin ich nochmal :)
mit der aufgabe hab ich so einige verstaendnisprobleme.. zuerst einmal. ich verstehe nicht, wo der zusammenhand ist, zwischen dem [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) und der konvergenz des unbestimmten integrals.
davon aber mal abgesehen, hab ich erstmal angefangen und mich an das bsp. gehalten und partiell integriert.
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{2x}*2x*sin(x^{2}) dx}=-\bruch{1}{2x}*cos(x^{2})- \integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos(x^{2})}{2x^{2}} dx}
[/mm]
wenn ich nun [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos(x^{2})}{2x^{2}} dx} [/mm] abschaetze komme ich darauf, dass gilt [mm] \bruch{cos(x^{2})}{2x^{2}}<\bruch{1}{2x^{2}}
[/mm]
mit dem reihenkriterium ergibt sich, dass [mm] \bruch{1}{2x^{2}} [/mm] konvergent ist. damit ist es eine konvergente majorante zu [mm] \bruch{cos(x^{2})}{2x^{2}}.
[/mm]
demzufolge existiert auch [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos(x^{2})}{2x^{2}} dx}
[/mm]
an der stelle komme ich nun jedoch nicht so richtig weiter.
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{2x}*2x*sin(x^{2}) dx}=\underbrace{-\bruch{1}{2x}*cos(x^{2})}_{1.}- \underbrace{\integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos(x^{2})}{2x^{2}} dx}}_{2.}
[/mm]
1. in meinen grenzen ergibt ca. 0.28, aber zumindest einen konkreten wert.
2. ist konvergent
d.h. [mm] \integral_{1}^{\infty}{sin(x^{2}) dx} [/mm] ist ebenfalls konvergent.
falls das stimmt, hab ich ja nun die konvergenz meines bsp.integrals gezeigt, oder? aber die frage an sich noch nicht beantwortet.
haette vielleicht jemand einen tipp fuer mich, wie ich nun weiter vorgehen muss?
LG Jany :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 So 23.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi jany,
was du aus der Aufgabe mitnehmen sollst ist das:
damit ein uneigentliches Integral existiert (d.h. konvergiert) ist es nicht notwendig, dass der Integrand einen Grenzwert hat.
Denn [mm] sin(x^2) [/mm] schwankt ja immer zw. -1 und 1 hin und her, d.h.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}sin(x^2) [/mm] existiert nicht, trotzdem exisiert das uneigentl Integral. Man kann also NICHT folgern: Der Integrand hat keinen Grenzwert, also das Integral auch nicht.
Deine Rechnung sieht im übrigen richtig aus.
l G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 23.04.2006 | | Autor: | Janyary |
aha, das macht das ganze endlich mal verstaendlich fuer mich.
vielen dank und schoenen abend noch :)
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