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| Aufgabe | zeichnen sie den graphen von f sowie dessen asymptote für [mm] x\mapsto \infty [/mm] bzw. [mm] x\mapsto -\infty. [/mm] die gerade mit der gleichung x=c, der graph von f und die asymptote begrenzen eine nach links bzw. rechts unbeschränkte fläche. untersuchen sie, ob diese fläche einen inhalt a besitzt. geben sie gegebenenfalls a an.
a) f(x)= 0,5x+ [mm] \bruch{2}{ x^{2}}, [/mm] c=2, nach rechts
b) f(x)= [mm] \bruch{x^{3}-1}{3 x^{2}}, [/mm] c=-1, nach links |
hallo,
ich habe mich mal an der oben stehenden aufgabe versucht, kann jedoch im falle a) nicht die asymptote berechnen. wie mach ich das bei ganz-rationalen funktionen?? desweiteren kann ich in beiden fällen nicht die fläche ausmachen, die ich berechnen soll. ich hab zwar bei b) die asymptote ausgerechnet, finde aber nicht die zu berechnende fläche. zur info: ich benutze als taschenrechner den ti-83. könntet ihr mir da weiterhelfen??
gruß und danke
tobias
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> zeichnen sie den graphen von f sowie dessen asymptote für
> [mm]x\mapsto \infty[/mm] bzw. [mm]x\mapsto -\infty.[/mm] die gerade mit der
> gleichung x=c, der graph von f und die asymptote begrenzen
> eine nach links bzw. rechts unbeschränkte fläche.
> untersuchen sie, ob diese fläche einen inhalt a besitzt.
> geben sie gegebenenfalls a an.
>
> a) f(x)= 0,5x+ [mm]\bruch{2}{ x^{2}},[/mm] c=2, nach rechts
Hallo,
nun zu a.)
Eine Asymptote findest du, wenn du die Funktion gegen [mm] \pm \infty [/mm] laufen lässt.
Bei f(x) geht der zweite Summand gegen 0, fällt also weg und somit ist die Asymptote: g(x) = [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
Für die Flächenberechnung musst du die Stammfunktion bilden:
F(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{2}^{b}{0,5x+ \bruch{2}{ x^{2}}dx}
[/mm]
Die obere Grenze lässt du ersteinmal als b stehen. Wenn du nun die Grenzen in F(x) eingesetzt hast, bildest du ganz am Ende den Grenzwert, da b gegen unendlich laufen soll.
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}
[/mm]
Dabei kann ein fester Wert herauskommen, dann liegt ein endlicher Flächeninhalt vor oder weiterhin unendlich, dann ist die Fläche auch unendlich.
Ich hoffe du kommst erstmal mit dem ersten Teil der Aufgabe weiter.
Gruß Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Patrick!
> Für die Flächenberechnung musst du die Stammfunktion
> bilden:
> F(x) = [mm]\bruch{1}{4}x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{2}{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{2}^{b}{0,5x+ \bruch{2}{ x^{2}}dx}[/mm]
Das stimmt so nicht: gesucht ist ja die Fläche zwischen Asymptote $g(x)_$ und der Funktion $f(x)_$ .
Von daher berechnet sich die gesuchte Fläche zu:
$A \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{2}^{b}{f(x)-\red{g(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{2}^{b}{\bruch{1}{2}*x+\bruch{2}{x^2}-\bruch{1}{2}*x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{2}^{b}{2*x^{-2} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mi 22.03.2006 | | Autor: | XPatrickX |
hoppla, stimmt natürlich! Danke.
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Halle beachbulette!
Die Vorgehensweise ist sehr ähnlich wie oben von Patrick dargestellt (bitte beachte dazu auch meinen Hinweis).
Bei dieser Aufgabe musst Du halt zunächst die Asymptote ermitteln. Dazu formen wir wie folgt um:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^3-1}{3*x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{3*x^2}-\bruch{1}{3*x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*x-\bruch{1}{3*x^2}$
[/mm]
In diesem Falle lautet die Asymptote also $g(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}x$ [/mm] .
Da hier die Fläche nach links untersucht werden soll, lautet das zu ermittelnde Integral:
$A \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\red{-}\infty}\integral_{b}^{-1}{g(x)-f(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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