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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 07.01.2015 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Man untersuche folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz:
$ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\, [/mm] $ mit $ [mm] \alpha [/mm] > 0 $ |
Guten Tag,
ich habe hier eine Aufgabe, womit ich nicht ganz zurecht komme.
Ich habe online ( weiß nicht mehr genau welche Seite es war ) schon was gefunden aber nicht alles.
Mein Weg bis jetzt:
Fallunterschied:
1.Fall $ [mm] \alpha [/mm] = 1: $
Bei diesem Fall würde ich sagen, dass wenn man die Funktion integriert bekommt man ja $ ln(ln(x)) $ raus. Und das würde ja divergieren.
2.Fall : $ [mm] \alpha [/mm] > 1 $: sub: $ x = ln(x) $
$ [mm] \integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{x^{\alpha} } [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} x^{-\alpha+1} |^\infty_1 [/mm] $
dann habe ich eine Formel :
$ [mm] \int_{a}^{\infty}{f(u) du}=\lim_{b\to \infty}\int_{a}^{b}{f(u) du} [/mm] $
also:
$ [mm] \bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} x^{-\alpha+1} |^b_{ln2}\\ =\bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} b^{-\alpha+1} -\bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} (ln(2))^{-\alpha+1} [/mm] $
nun hab ich das Problem wenn ich $ b [mm] \to \infty [/mm] $ laufen lasse
[mm] \bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} b^{-\alpha+1}
[/mm]
[mm] b^{-\alpha+1} [/mm] würde gegen unendlich gehen falls b unendlich ist. und das würde bedeuten dass der Bruch gegen unendlich geht.
Aber irgendwie denke ich mir, dass es falsch ist.
Weil wenn ich den 3.Fall $ [mm] \alpha [/mm] < 1 $ betrachten würde,
würde b dann auch gegen unendlich laufen, wenn b unendlich ist. Irgendwo habe ich einen Denkfehler, da ich vermute eine Richtung konvergiert..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mi 07.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Mit der Substitution u=ln(x) haben wir:
$ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }= \integral_{ln(2)}^{\infty} \bruch{du}{u^\alpha } [/mm] $
Was ist Dir bekannt in Bezug auf Konvergenz/Divergenz der Integrale [mm] \integral_{ln(2)}^{\infty} \bruch{du}{u^\alpha } [/mm] ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:57 Mi 07.01.2015 | | Autor: | capri |
Hallo,
$ [mm] \integral_{ln(2)}^{\infty} \bruch{du}{u^\alpha } [/mm] $ = $ [mm] \lim_{b\to \infty}\int_{ln(2)}^{b}{\bruch{du}{u^\alpha }} [/mm] $ = [mm] \lim_{b\to \infty} [/mm] $ [mm] \bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} u^{-\alpha+1} |^b_{ln2} [/mm] $ = [mm] \lim_{b\to \infty} [/mm] $ [mm] \bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} b^{-\alpha+1} -\bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} (ln(2))^{-\alpha+1} [/mm] $ = [mm] \lim_{b\to \infty} [/mm] $ [mm] \bruch{1}{(-\alpha+1)\cdot{} b^{\alpha-1}} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{(-\alpha+1)\cdot{} ln(2))^{\alpha-1}} [/mm] $
wenn ich im zweiten Fall: $ [mm] \alpha [/mm] > 1 $ wähle bekomme ich nun wenn b [mm] \to \infty [/mm] geht 0 raus :S
$ [mm] \int_{a}^{\infty}{f(u) du}=\lim_{b\to \infty}\int_{a}^{b}{f(u) du} [/mm] $
da habe ich ja diese Formel gefunden. Ob das stimmt weiß ich nicht :S
ich weiß nicht, ob ich hiermit deine Frage beantwortet habe, aber mir fiel zu deiner Frage nichts ein, weil ich nicht wusste was du damit meinst..
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 09.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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