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| Aufgabe | Untersuche das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz und berechne, sofern möglich, ihren Wert!
[mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} {1/(1+x^2) dx} [/mm] |
Zur berechnung des Integrals wollte ich den Logarithmus verwendet:
[mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} {1/(1+x^2) dx}= ln(1+x^2), [/mm] aber dann würde ich bei der Probe die innere Ableitung vernachlässigen.
Könnt ihr mir dabei helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo sternchen!
Es gilt: [mm] $\left[ \ \arctan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Oh ja, das ist mir auch gerade aufgefallen, als ich in einem Buch geblättert habe. kannst du mir trotzdem nochmal bei der Konvergenz helfen?
Kann ich dann das Integral berechnen, wenn das Integral konvergiert?
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Hallo,
dazu musst du also prüfen, ob die Grenzwerte definiert sind:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}arctan(n)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}arctan(n).
[/mm]
Das sind sie sicher, denn der arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens. Der Tangens läuft für [mm] x\to\bruch{\pi}{2} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] und für [mm] x\to\bruch{-\pi}{2} [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] (unter Vernachlässigung der Periodizität).
Was tut dann also der arctan? Genau...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}arctan(n)=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}arctan(n)=\bruch{-\pi}{2}.
[/mm]
Also ist [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=\bruch{\pi}{2}-(-\bruch{\pi}{2})=\pi.
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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