uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Di 25.04.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Seien P(x) und Q(x) Polynome. Sei Q(x) [mm] \not= [/mm] 0 für [mm] x\ge [/mm] 0. Man gebe ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium dafür an, dass das folgende uneigentliche Integral existiert:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx} [/mm] |
hi, wär super wenn ihr mir bei dieser aufgabe helfen könntet, hab zwar die lösungen dazu, aber ich versteh einige schritte nicht!
Es wird angenommen, dass n der Grad des polynoms P und m der Grad des Polynoms Q ist. Nachdem P und Q durch ihren Hauptkoeffizienten dividiert wurden, können wir annehmen:
P(x) = [mm] x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0
[/mm]
Q(x) = [mm] x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0
[/mm]
das versteh ich noch.
Aber das hier nicht mehr:
" Da der limes, wenn sich x [mm] \infty [/mm] nähert, für den Bruch:
[mm] \bruch [/mm] { [mm] \bruch{P(x)}{Q(x)} [/mm] } [mm] {\bruch {x ^n}{x^m} } [/mm] gleich 1 ist, existiert ein M > 0 derart, dass sich dieser Bruch in der Umgebung (1/2,2) von 1 befindet:
[mm] \bruch{1}{2} \bruch{x^n}{x^m} [/mm] < [mm] \bruch [/mm] {P(x)} {Q(x)} < 2 [mm] \bruch{x^n}{x^m} [/mm] falls x [mm] \ge [/mm] M."
Wie kommt man auf den Bruch am anfang und warum ist der Limes 1?? und wie kommt man auf die Umgebung (1/2,2) ?? Warum existiert so ein M?
weiter heißt es dann:
" Es folgt für die uneigentlichen Integrale
1/2 [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx} [/mm] < [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx} [/mm] <2 [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx}
[/mm]
so dass [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx} [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx} [/mm] es tut, also nur falls m-n>1. " Das kann ich einigermaßen nachvollziehen.
aber ads hier wieder nicht:
"Da der Nenner Q(x) auf dem Intervall [0,M] wolhldefiniert ist, ist der Quotient P/q auf [0,M] eine stetige (beschränkte) Funktion, also integrierbar. Es folgt:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{M}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx} [/mm] + [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx}
[/mm]
konvergiert genau dann, wenn m-n > 1.
Wieso diese Zerlegung ?? *verzweifel'*
und was ist dann genau das notwendige und welches das hinreichende Kriterium??
vielen dank schonmal für eure hilfe....
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Hallo Riley,
> Es wird angenommen, dass n der Grad des polynoms P und m
> der Grad des Polynoms Q ist. Nachdem P und Q durch ihren
> Hauptkoeffizienten dividiert wurden, können wir annehmen:
> P(x) = [mm]x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0[/mm]
> Q(x) = [mm]x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0[/mm]
> das versteh ich noch.
> Aber das hier nicht mehr:
> " Da der limes, wenn sich x [mm]\infty[/mm] nähert, für den Bruch:
> [mm]\bruch{ \bruch{P(x)}{Q(x)}} {\bruch {x ^n}{x^m} }=1[/mm]
> , existiert ein M > 0 derart, dass sich dieser Bruch
> in der Umgebung (1/2,2) von 1 befindet:
> [mm]\bruch{1}{2} \bruch{x^n}{x^m}[/mm] < [mm]\bruch[/mm] {P(x)} {Q(x)} < 2
> [mm]\bruch{x^n}{x^m}[/mm] falls x [mm]\ge[/mm] M."
> Wie kommt man auf den Bruch am anfang und warum ist der
> Limes 1?? und wie kommt man auf die Umgebung (1/2,2) ??
> Warum existiert so ein M?
Wenn du zwei polynome hast, dann verhalten die sich für sehr große x so wie ihre Terme höchster Ordnung.mehr wird hier nicht ausgenutzt.
> weiter heißt es dann:
> " Es folgt für die uneigentlichen Integrale
> 1/2 [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx}[/mm] <
> [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx}[/mm] <2
> [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx}[/mm]
> so dass
> [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx}[/mm] genau dann
> konvergiert, wenn [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx}[/mm]
> es tut, also nur falls m-n>1. " Das kann ich einigermaßen
> nachvollziehen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") siehe oben.
> aber ads hier wieder nicht:
> "Da der Nenner Q(x) auf dem Intervall [0,M] wolhldefiniert
> ist, ist der Quotient P/q auf [0,M] eine stetige
> (beschränkte) Funktion, also integrierbar. Es folgt:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{M}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx}[/mm]
> konvergiert
> genau dann, wenn m-n > 1.
> Wieso diese Zerlegung ?? *verzweifel'*
Oben wurde das Grenzwert-Verhalten des Bruchs ausgenutzt und deswegen erst ab $M$ integriert. Das heißt, dass wir uns noch den rest, also das integral bis M anschauen müssen. Der Rest ist aber unkritisch, weil Q nach Voraussetzung (!) keine nullstellen in diesem bereich hat und somit der bruch stetig ist.
> und was ist dann genau das notwendige und welches das
> hinreichende Kriterium??
Ich neige dazu zu sagen, die bedingung $m-n>1$ ist notwendig und hinreichend, dafür spricht auch die 'genau dann'-Formulierung im letzten Satz.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 27.04.2006 | | Autor: | Riley |
hi matthias!
aha, ganz vielen dank für deine erklärungen!!!
hab da nicht ganz aufgepasst: "so dass [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx} [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] \integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx} [/mm] es tut, also nur falls m-n>1."
dachte, dass wär klar, wenn m>n ist, aber warum muss es heißen m>n+1?? und ist das mit der konvergenz wegen dem Majorantenkriterium??
... vielen vielen dank für deine hilfe!!!
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Hallo Riley,
> [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{P(x)}{Q(x)} dx}[/mm] genau dann
> konvergiert, wenn [mm]\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx}[/mm]
> es tut, also nur falls m-n>1."
> dachte, dass wär klar, wenn m>n ist, aber warum muss es
> heißen m>n+1?? und ist das mit der konvergenz wegen dem
> Majorantenkriterium??
Es gilt doch
[mm] $\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{x^n}{x^m} dx}=\integral_{M}^{\infty}{ \bruch{1}{x^{m-n}} dx}$
[/mm]
Dh. du musst checken, wann dieses uneigentliche integral existiert (obere grenze festhalten,stammfunktion bilden, integral berechnen, mit oberer grenze gegen unendlich gehen). du wirst sehen, es existiert genau dann, wenn $m-n>1$ ist....
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Riley |
hi matthias! DANKE für deine erklärung! hab das mal versucht:
[mm] \integral_{M}^{t} \bruch{x^n}{x^m} dx=\integral_{M}^{\infty} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^{m-n}} [/mm] dx} [mm] =\integral_{M}^{t}{ x^{n-m} dx} [/mm] = [ [mm] \bruch{1}{n-m+1} x^{n-m+1} |^t_M [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-m+1} t^{n-m+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n-m+1} M^{n-m+1}
[/mm]
stimmt das soweit?? aber darf ich durch n-m+1 teilen? und wie kann ich t gegen unendlich gehen lassen?
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> stimmt das soweit?? aber darf ich durch n-m+1 teilen?
natürlich nur, wenn n-m+1 ungleich 0 ist.... sonst wäre die stammfkt. der logarithmus, das musst du auch noch untersuchen.
> und
> wie kann ich t gegen unendlich gehen lassen?
entscheidend ist ja der term $ [mm] t^{n-m+1}$. [/mm] ist n-m+1>0, so ist das eine potenzfunktion mit positivem exponenten, die gegen unendlich geht, für t gegen unendlich. Klar? für n-m+1<0 hast du das inverse einer solchen funktion, die folglich....?
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Riley |
ah... okay*lichtaufgeh*, d.h.
für n-m+1<0 hast du das inverse einer solchen funktion, die folglich....?
die also gegen 0 geht und damit konvergiert ??
hmm, und wie untersuch ich ob n-m+1 ungleich 0 ist? ich mein ich weiß über n und m doch eigentlich nichts..??
many many THX 4 help ! :)
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> ah... okay*lichtaufgeh*, d.h.
> für n-m+1<0 hast du das inverse einer solchen funktion, die
> folglich....?
> die also gegen 0 geht und damit konvergiert ??
Jau.
>
> hmm, und wie untersuch ich ob n-m+1 ungleich 0 ist? ich
> mein ich weiß über n und m doch eigentlich nichts..??
m und n sind gegeben. wenn n-m+1 ungleich 0 ist, kannst du so rechnen wie du es gemacht hast. Ist n-m+1=0, musst du anders integrieren.... (integral von 1/x ?!?) und checken, ob dann das uneigentliche integral existiert.
gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Riley |
aha... also dann bekomm ich: [mm] \integral_{M}^{t}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [ln(x) [mm] |^t_M [/mm] = ln(t) - ln (M) und für t gegen unendlich geht das auch langsam gegen unendlich, oder?? d.h. das integral existiert nicht...?
danke dir vielmals! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Sa 29.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Alles klar, ich glaube, wir können den thread jetzt schließen.... 
Grüße
Matthias
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