uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Hallo Leute!
Ich hab mal ne Frage, die hoffentlich nicht allzu blöd ist:
Wieso existiert das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}? [/mm] Ich weiß, dass [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{1}{x^2}} [/mm] und [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}} [/mm] existiert, aber [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{x^2}} [/mm] gerade nicht! Wie kann das sein????
Danke schonmal für eure Hilfe!!!
Mathec
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Hallo Mathec,
> Hallo Leute!
> Ich hab mal ne Frage, die hoffentlich nicht allzu blöd
> ist:
> Wieso existiert das Integral [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}?[/mm]
Das bezweifle ich aber ...
> Ich weiß, dass [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{1}{x^2}}[/mm]
> und [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}}[/mm] existiert, aber
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{x^2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gerade nicht! Wie kann
eben!
> das sein????
> Danke schonmal für eure Hilfe!!!
> Mathec
Da der Integrand eine gerade Funktion ist, gilt $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2} \ dx}=2\cdot{}\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \ dx}$
$=2\cdot{}\left[\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{x^2} \ dx}+\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \ dx}\right]=...=2\cdot{}(\infty+1)=\infty$
Das ex. also m.E. nicht ..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Ich verstehe das auch nicht ganz, aber wir haben das so in der Vorlesung aufgeschrieben. Es ging darum, mit dem Residuensatz reelle uneigentliche Integrale zu berechnen. Wir haben dann von einer rationalen Funktion [mm] \bruch{p}{q} [/mm] eine Abschätzung gemacht- wie ist jetzt egal und haben gezeigt, dass [mm] |\bruch{p}{q}| \le \bruch{c}{x^2}. [/mm] Dann haben wir mit dem Majorantenkriterium argumentiert: da die beiden uneigentliche Integrale [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{f(x) dx}, \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] existieren, existiert auch das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{p(x)}{q(x)}dx} [/mm] ... aber wenn ich das Majkriterium benutze, muss doch das ganze Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2}dx} [/mm] konvergieren,oder????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
sorry:
>Dann haben
> wir mit dem Majorantenkriterium argumentiert: da die beiden
> uneigentliche Integrale [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{f(x) dx}, \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
> existieren,
es muss statt f(x) natürlich [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] heißen
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Hallo nochmal,
soweit ich mich erinnere, ist das bei diesen Integralen [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{p(z)}{q(z)} \ dz}$ [/mm] so, dass [mm] $deg(p)+2\le [/mm] deg(q)$ sein muss, was hier erfüllt ist, aber es muss auch [mm] $q(z)\neq [/mm] 0$ sein für alle [mm] $z\in\IR$
[/mm]
Das passt hier nicht, denn für z=0 ist mit [mm] $q(z)=z^2$ [/mm] dann [mm] $q(0)=0^2=0$.
[/mm]
Aber zB. für das Integral [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{x^2+1} \ dx}$ [/mm] könntest du den Residuensatz hernehmen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
das p(z) ist nicht das [mm] z^2, [/mm] sondern das ist nur die Abschätzung dafür. Ich glaube, es gibt aber einen Satz von Cauchy über die KOnvergenz von uneigentlichen Integralen und nach diesem müsste [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] integrieren, weil es die beiden Teilintegrale auch tun! Kennt jemand diesen Satz bzw kann mir sagen, ob der stimmt??
Mathec
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich verstehe das auch nicht ganz, aber wir haben das so in
> der Vorlesung aufgeschrieben. Es ging darum, mit dem
> Residuensatz reelle uneigentliche Integrale zu berechnen.
> Wir haben dann von einer rationalen Funktion [mm]\bruch{p}{q}[/mm]
> eine Abschätzung gemacht- wie ist jetzt egal und haben
> gezeigt, dass [mm]|\bruch{p}{q}| \le \bruch{c}{x^2}.[/mm] Dann haben
> wir mit dem Majorantenkriterium argumentiert: da die beiden
> uneigentliche Integrale [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{f(x) dx}, \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
> existieren, existiert auch das Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{p(x)}{q(x)}dx}[/mm] ... aber
> wenn ich das Majkriterium benutze, muss doch das ganze
> Integral [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2}dx}[/mm]
> konvergieren,oder????
Wie schachuzipus schon schrieb, darf die Funktion q(x) nach Voraussetzung keine reellen Nullstellen haben. Damit ist [mm] $\bruch{p(x)}{q(x)}$ [/mm] auf jedem endlichen reellen Intervall beschränkt und das Integral über ein solches endliches Intervall
[mm] \integral_a^b \bruch{p(x)}{q(x)} dx [/mm]
existiert. Es geht also nur darum die Existenz für [mm] $a\to -\infty$ [/mm] und [mm] $b\to +\infty$ [/mm] zu zeigen. Dafür reicht es, mit dem Integral über [mm] $\bruch{c}{x^2}$ [/mm] abzuschätzen, etwa so:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}\left| \bruch{p(x)}{q(x)}\right| dx = \integral_{-\infty}^{-1} \left|\bruch{p(x)}{q(x)} \right|dx + \integral_{-1}^{+1} \left|\bruch{p(x)}{q(x)}\right| dx + \integral_{1}^{+\infty} \left|\bruch{p(x)}{q(x)}\right| dx [/mm]
[mm] \le \integral_{-\infty}^{-1} \bruch{c}{x^2} + \integral_{-1}^{+1}\left| \bruch{p(x)}{q(x)}\right| dx + \integral_{+1}^{+\infty} \bruch{c}{x^2} dx [/mm]
Das mittlere Integral existiert sowieso, und die beiden Äußeren, weil der Punkt 0 außerhalb des Intergrationsintervalls liegt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine verständliche Erklärung, das hab ich jetzt soweit verstanden. Kann ich aber auch mit dem Cauchy- Kriterium argumentieren, dass wirklich das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] konvergiert, weil ich halt einen startwert > 1 finden kann, so dass die beiden Teilintegrale konvergieren? Oder ist es tatsächlich so, dass das Integral gar nicht konergiert??!
Für eine weitere Antwort bin ich sehr dankbar!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer!
> Vielen Dank für deine verständliche Erklärung, das hab
> ich jetzt soweit verstanden. Kann ich aber auch mit dem
> Cauchy- Kriterium argumentieren, dass wirklich das Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm]
> konvergiert, weil ich halt einen startwert > 1 finden kann,
> so dass die beiden Teilintegrale konvergieren? Oder ist es
> tatsächlich so, dass das Integral gar nicht konergiert??!
Wie willst du das in zwei konvergente Integrale zerlegen? In einem der beiden Integrationsintervalle liegt der Nullpunkt, und dieses Integral existiert nicht.
Nein, dieses Integral existiert nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Wir hatten in der Vorlesung aufgeschrieben: Das Integral [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] existiert genau dann, wenn für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein Startwert [mm] r_\varepsilon [/mm] exisiert, so dass für alle s > r > [mm] r_\varepsilon [/mm] gilt:
[mm] |\integral_{r}^{s}{f(x) dx} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] |\integral_{-s}^{-r}{f(x) dx} [/mm] | < [mm] \varepsilon. [/mm] Von daher dachte ich, man kann das auf dieses Integral anwenden und halt das Intervall von 0 bis 1 außen vorlassen...Wieso geht das denn nicht??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Das obige Kriterium heißt übrigens Cauchy- Kriterium!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir hatten in der Vorlesung aufgeschrieben: Das Integral
> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] existiert genau
> dann, wenn für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein Startwert
> [mm]r_\varepsilon[/mm] exisiert, so dass für alle s > r >
> [mm]r_\varepsilon[/mm] gilt:
> [mm]|\integral_{r}^{s}{f(x) dx}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] und
> [mm]|\integral_{-s}^{-r}{f(x) dx}[/mm] | < [mm]\varepsilon.[/mm] Von daher
> dachte ich, man kann das auf dieses Integral anwenden und
> halt das Intervall von 0 bis 1 außen vorlassen...Wieso
> geht das denn nicht??
Weil f(x) im Punkt 0 nicht definiert und in seiner Umgebung unbeschränkt ist. Das Kriterium setzt voraus, dass das Integral über ein endliches Intervall existiert und gibt an, was passiert, wenn eine oder beide Grenzen ins Unendliche gehen. Im Fall [mm] $1/x^2$ [/mm] existiert aber das Integral von 0 bis 1 schon nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 So 19.07.2009 | | Autor: | Mathec |
OK, dann hab ichs verstanden!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Mathec
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