unendlich viele Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] reeler Zahlen existiert, die über unendlich viele Häufungspunkte verfügt, d. h.:
für alle x in [mm] \IR [/mm] gilt: x ist HP von [mm] (a_{n}) [/mm] |
Ich kann mir nicht vorstellen, dass eine solche Folge existieren kann und ich habe auch keine Ahnung, wie ich eine konkrete Folge konstruieren sollte.
Soweit ich weiß, ist [mm] |\IN|<|\IR| [/mm] und deswegen nach Cantor eine Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR [/mm] nicht surjektiv. Wie kann also jede reele Zahl HP sein?
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Hallo Salamence,
hier mal zwei (von vielen Möglichkeiten):
1) Kannst Du eine Folge konstruieren, die garantiert alle rationalen Zahlen durchläuft? Dabei dürfen womöglich sogar endlich viele Zahlen ausgelassen werden, und beliebig viele dürfen mehrmals durchlaufen werden.
2) Kannst Du das Intervall [-1;1] auf [mm] \IR [/mm] abbilden? Dann wäre z.B. [mm] a_n=\sin{n} [/mm] eine interessante Folge...
Grüße
reverend
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