unendlich viele Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige: es gibt unendlich viele Primzahlen [mm] \equiv [/mm] 7(mod 8).
(Hinweis: zweite Ergänzungssatz) |
Angenommen [mm] p_1 [/mm] ,..., [mm] p_s [/mm] alle Primzahlen [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 8)
Und setzte N:= (4 [mm] p_1 [/mm] .. [mm] p_s)^2 [/mm] -2
(7+8t)*(7+8s) = 49 + 56 t + 56 s + 64 ts = 7*(7 + 8t+8s +9ts) +1ts
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> Zeige: es gibt unendlich viele Primzahlen [mm]\equiv[/mm] 7(mod 8).
> (Hinweis: zweite Ergänzungssatz)
> Angenommen [mm]p_1[/mm] ,..., [mm]p_s[/mm] alle Primzahlen [mm]\equiv[/mm] 7 (mod 8)
> Und setzte N:= (4 [mm]p_1[/mm] .. [mm]p_s)^2[/mm] -2
>
> (7+8t)*(7+8s) = 49 + 56 t + 56 s + 64 ts = 7*(7 + 8t+8s
> +9ts) +1ts
>
Hmm, eine Aufgabe und ein Haufen Zahlen.
Allerdings sehe ich da keine Argumentation und insbesondere keine Frage.
Deshalb stelle ich mal zwei Fragen:
1. Es gilt $N [mm] \equiv [/mm] 6$ (mod 8). Was bringt dir das für die Primzahlen, die kongruent zu $7$ (mod 8) sind?
2. Wieso ziehst du bei $(7+8t)*(7+8s)$ eine 7 raus, betrachtest also den Rest (mod 7) statt (mod 8)?
Also sollte das ein Lösungsansatz für die Aufgabe sein dann musst du ihn zum einen erklären, zum anderen unter Umständen noch ein Stück überarbeiten.
Und erzähl mal, wo genau jetzt dein Problem liegt.
lg
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> Es gilt $ N [mm] \equiv [/mm] 6 $ (mod 8)
(7+8t)*(7+8s) = 49 + 56 t + 56 s + 64 ts = 8*(6 + 7t+7s+8ts) +1
(1+8u)*(1+8w)= 1 +8u+8w +64uw= 8*(u+w+8uw)+1
mal 4 -> 4 + 8a
zum quadrat -> 16 + 8a
-2 -> 14 + 8a = 6 + 8k
s,k,a,t,u,w, [mm] \in \IZ
[/mm]
=>N [mm] \equiv [/mm] 6 (mod 8)
Ich wollte einen widerspruchsbeweis machen. Bekomme es aber nicht hin.
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> Hallo,
> Ich wollte einen widerspruchsbeweis machen. Bekomme es aber
> nicht hin.
>
Definieren wir mal:
$N:= (4 $ [mm] p_1 [/mm] $ .. $ [mm] p_s)^2 [/mm] $ [mm] -\red{1}$
[/mm]
Dann ist $N [mm] \equiv [/mm] 7$ (mod 8).
Überdies ist $N [mm] \neq p_i$ [/mm] für alle $i$.
Nehmen wir jetzt mal an, dass $N$ eine Primzahl ist.
Dann hast du deinen Widerspruch, denn du hast eine Primzahl gefunden, die kongruent zu 7 ist, aber nicht in der angenommenen Liste der endlich vielen.
Ist $N$ keine Primzahl, so betrachte die Primfaktorzerlegung von $N$ und versuche zu argumentieren, wieso in dieser eine Primzahl stecken muss, die kongruent zu 7 ist, aber nicht in der Menge der [mm] $p_i$ [/mm] enthalten.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
N:= (4 $ [mm] p_1 [/mm] $ .. $ [mm] p_s)^2 [/mm] $ -2 steht so in der angabe.! mit Hinweis zum zweiten Ergänzungssatz
LG
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Hallo,
wenn [mm] N=(\cdots)^2-2 [/mm] ist, dann ist 2 ein quadratischer Rest [mm] \mod{N}.
[/mm]
Also ist [mm] \left(\bruch{2}{N}\right)=1.
[/mm]
Was sagt nun der zweite Ergänzungssatz dazu?
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:18 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
Okay das ist klar
> $ [mm] \left(\bruch{2}{N}\right)=1. [/mm] $
Zweite Ergänzungssatz :
Sei p [mm] \not= [/mm] 2 eine Primzahl dann ist
[mm] (\frac{2}{p}) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}
[/mm]
2 quadratischer Rest mod p wen p [mm] \equiv [/mm] +- 1 (8)
2 quadratischer NichtRest mod p wen p [mm] \equiv [/mm] +- 3 (8)
Aber bei uns ist doch N nicht zwingend eine Primzahl?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 10.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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