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| Aufgabe | | Gegeben sei die unendliche Reihe S= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i(i+1). [/mm] Berechnen Sie die ersten 5 Reigenglieder sowie die dazu gehörenden Partialsummen Si. |
Alos mit dieser Klammer davor kann ich nicht viel anfangen.Darf ich dann in der Funktion für i = 1 einsetzen?Und ich habe doch jetzt auch gar keinen Wert, wie sich die nächsten Reihenglieder bilden. Oder ändert man dann jeweils einfach nur i?
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> Gegeben sei die unendliche Reihe S=
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/i(i+1).[/mm] Berechnen Sie die ersten 5
> Reigenglieder sowie die dazu gehörenden Partialsummen Si.
Hallo,
Reigenglieder finde ich total niedlich: die der Reihe zugrundeliegenden Folgenglieder tanzen auf einer Blumenwiese einen hübschen Reigen - und auf einmal verschwinden fast alle. Das ist dann nicht ganz so so niedlich - aber ein Glück für den den Reihenreigen studierenden Studenten.
> Alos mit dieser Klammer davor kann ich nicht viel
> anfangen.
Wovon redest Du jetzt bitte? Von welcher Klammer?
Könnte es sein, daß Du in Wahrheit über [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)} [/mm] sprechen willst und nicht über die von Dir gepostete Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i}(i+1)
[/mm]
> Darf ich dann in der Funktion für i = 1
> einsetzen?Und ich habe doch jetzt auch gar keinen Wert, wie
> sich die nächsten Reihenglieder bilden. Oder ändert man
> dann jeweils einfach nur i?
Hm. Entweder bin ich begriffstutzig, oder mit Deiner Formulierungskunst ist es nicht zum besten bestellt...
Erstmal vorweg: die Summenschreibweise hast Du prinzipiell verstanden?
Zur Sicherheit: es ist [mm] \summe_{i=1}^5{i^2}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2.
[/mm]
Tun sollst Du in Dmeiner Aufgabe folgendes:
[mm] S_1= \summe_{i=1}^{1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{1}{1(1+1)}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] S_2= \summe_{i=1}^{2}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{1}{1(1+1)}+\bruch{1}{2(2+1)}= [/mm] ...
[mm] S_3= \summe_{i=1}^{3}\bruch{1}{i(i+1)}=...
[/mm]
[mm] S_4=...
[/mm]
[mm] S_5= [/mm] ...
Gruß v. Angela
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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | | Gegeben sei die unendliche Reihe S= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i(i+1). [/mm] Berechnen Sie die ersten 5 Reigenglieder sowie die dazu gehörenden Partialsummen Si. |
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Okay also wie man das macht habe ich verstanden und auch ausgeführt. Ist das dann dennjetzt auch schon die Partialsumme? Also ich habe jetzt jede Reihe einzeln ausgerechnet.
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> Gegeben sei die unendliche Reihe S=
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/i(i+1).[/mm] Berechnen Sie die ersten 5
> Reigenglieder sowie die dazu gehörenden Partialsummen Si.
>
> Okay also wie man das macht habe ich verstanden und auch
> ausgeführt. Ist das dann dennjetzt auch schon die
> Partialsumme? Also ich habe jetzt jede Reihe einzeln
> ausgerechnet.
Hallo,
ich nehme ja mal stark an, daß Du folgendes tun sollst:
für [mm] a_i:=1/i(i+1) [/mm] sollst Du [mm] a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 [/mm] ausrechnen, also die ersten 5 Glieder der Folge, aus denen die Reihe gemacht ist.
Danach dann summieren wie besprochen, also die ersten 5 Partialsummen berechnen.
Ob Du das Richtige getan hast, können wir nicht wissen, solange wir es nicht sehen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | siehe Anfang der Frage |
Ja also ich habe einfach S1 bis S5 berechnet. Das wird schon stimmen.
Dann habe ich ja 5 einzelne Werte. Und jetzt wollte ich halt wissen ob das schon eine Partialsumme ist oder ob ich die noch addieren muss,sodass ich dann einen Wert habe.
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> Ja also ich habe einfach S1 bis S5 berechnet. Das wird
> schon stimmen.
> Dann habe ich ja 5 einzelne Werte. Und jetzt wollte ich
> halt wissen ob das schon eine Partialsumme ist oder ob ich
> die noch addieren muss,sodass ich dann einen Wert habe.
Hallo,
(ich frage mich, welches Geheimnis die Aufgabe birgt. Warum schreibst Du nicht einfach hin, was Du hast?)
Wenn Du [mm] S_1 [/mm] bis [mm] S_5 [/mm] richtig aufgestellt und berechnet hast, sind das die geforderten 5 Partialsummen.
(Eine Reihe ist ja die Folge ihrer Partialsummen)
Ich weiß ja nicht, was Du für "5 einzelne Werte" hast - im Idealfall wären es die ersten 5 Glieder der Folge, die der Reihe zugrundeliegt, also das, was ich vorher schrieb - das ist mit mit Reihenglieder gemeint.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
ich hab sie nicht hingeschrieben,weil es sehr viel schreiarbeit ist die ganze reihe für jeden wert aufzuschreiben. und ich eigentlich denke das ich das verstanden habe und es schon richtig sein wird.ich habe es einfach so gemacht,wie es mir der erste antwortgeber erklärt hat.
ich kann aber gerne meine lösungen reinschreiben:
0,5
0,6667
0,75
0,8
0,8333
meine frage war ja nur was eine partialsumme ist. also ob man die werte noch addieren soll. dachte nicht das dafür meine rechnungen wichtig sind,weil es eher eine grundsatzfrage ist.aber man muss sie nicht addieren,dass habe ich ja jetzt verstanden.ist ja eigentlich auch logisch,weil man sie ja schon in der berechnung selbst addiert. vielen dank (:
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Wenn du die Summe bildest, addierst du ja der Reihe nach die einzelnen Glieder auf. Nach jeder dieser Additionen ändert sich dabei der Wert (falls du nicht 0 addierst), und die einzelnen Zwischensummen sind die Partialsummen ("Teilsummen").
Die nun von dir angegebene Folge ist die Folge der Partialsummen. Wenn du ihre Gesetzmäßigkeit erkennst, kannst du sofort sagen, was z.B. nach Addition der ersten 10 000 Glieder herauskommt, ohne dass du dann alle 10 000 Zahlen addieren müsstest. Außerdem kannst du dann sagen, was für unendlich herauskommt bzw. ob die Summe überhaupt konvergiert oder divergiert.
Also: Welche Gesetzmäßigkeit findest du in der Folge
[mm] s_1 [/mm] = 0,5
[mm] s_2 [/mm] = 0,6667
[mm] s_3 [/mm] = 0,75
[mm] s_4 [/mm] = 0,8
[mm] s_5 [/mm] = 0,83333
und was gibt demnach [mm] s_n [/mm] = ... ?
Was dann [mm] s_\infty?
[/mm]
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| Aufgabe | | Raten Sie dann eine allgemeine Formel für für die k-te Partialsumme Sk und berechnen sie den Grenzwert von S. |
Der 2. Aufgabenteil deckt sich glaube ich mit deiner Frage (:
Also ich dachte mir das so:
Sk= [mm] \summe_{i=1}^{k}= [/mm] 1/k(k+1)
Aber wie man jetzt den Grenzwert berechnen soll verstehe ich gar nicht. Es ist doch eigentlich unendlich...
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> Raten Sie dann eine allgemeine Formel für für die k-te
> Partialsumme Sk und berechnen sie den Grenzwert von S.
> Der 2. Aufgabenteil deckt sich glaube ich mit deiner Frage
> (:
>
> Also ich dachte mir das so:
>
> Sk= [mm]\summe_{i=1}^{k}=[/mm] 1/k(k+1)
Hallo,
ich hatte anfangs schonmal (ohne Antwort) nachgefragt: es geht doch nicht um die Reihe, die Du hier postest, sondern um
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)}, [/mm] richtig? Also um [mm]\summe_{i=1}^{\infty}=[/mm] [mm] 1/\red{(}i(i+1)\red{)}
[/mm]
Die k-te Partialsumme ist dann
[mm] S_k=[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{k}=[/mm][mm] \bruch{1}{i(i+1)}= \bruch{1}{1(1+1)}+\bruch{1}{2(2+1)}+\bruch{1}{3(3+1)}+ ...+\bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
Beachte den Unterschied zu dem, was Du oben schreibst - es kommt mir hierbei auf den Summationsindex i an, nicht auf die Klammern, welche wir ja bereits besprochen haben.
> Raten Sie dann eine allgemeine Formel für für die k-te
> Partialsumme Sk
Du hattest ja ausgerechnet
[mm] S_1=0,5
[/mm]
[mm] S_2=0,6667
[/mm]
[mm] S_3=0,75
[/mm]
[mm] S_4=0,8
[/mm]
[mm] S_5=0,8333 [/mm]
Schreib diese mal ungerundet und als Brüche.
Erkennst Du eine Regelmäßigkeit?
Was meinst Du ist [mm] S_k, [/mm] wenn man es als Bruch aufschreibt? (Raten!)
In Deinem Profil steht nichts darüber, was Du studierst. Falls Du Mathe oder Physik o.ä. studierst, würde man auf jeden Fall erwarten, daß Du das Geratene beweist. (z.B. mit Induktion.), ob bei GHS oder Sonderschullehramt auch, weiß ich nicht.
> Aber wie man jetzt den Grenzwert berechnen soll verstehe
> ich gar nicht. Es ist doch eigentlich unendlich...
Wenn Dein geratenes [mm] S_k [/mm] dasteht, dann berechnest Du [mm] \lim{k\to \infty}S_K.
[/mm]
Es ist übrigens unter dem Eingabefenster ein Button "Zitieren". Damit kannst Du die Antwort, auf die Du Dich beziehst, zitieren, und dann auch dazwischenschreiben.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | | Gegeben sei die unendliche Reihe S= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)}. [/mm] Berechnen Sie die ersten 5 Reigenglieder sowie die dazu gehörenden Partialsummen Si. |
Raten Sie dann eine allgemeine Formel für für die k-te
Partialsumme Sk und berechnen sie den Grenzwert von S. |
Ja also so wie du die Funktion angibst,stimmt sie.Habe diesen Bruchstrich nicht gesehen.
so habe das jetzt in brüche umgewandelt und dann erkennt man,dass nenner und Zähler beide immer einer mehr werden.Also:
1/2;2/3; 3/4; 4/5;5/6
Jetzt müsste man halt wissen welcher bruch das erklärt. Ich denke mal dieser Bruch wäre dann Sk? Aber ich finde da keinen einheitlichen Bruch der diese Regelmäßigkeit erfüllt. Gibt es einen speziellen Weg den zu errechnen? weil raten...wie soll das gehen.
Ich studiere übrigens Biologie. Mathe haben wir zum Glück nur im 1. Semester und müssen es auch nur bestehen. Note ist egal.
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> Gegeben sei die unendliche Reihe S=
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)}.[/mm] Berechnen Sie die
> ersten 5 Reigenglieder sowie die dazu gehörenden
> Partialsummen Si.
> Raten Sie dann eine allgemeine Formel für für die k-te
> Partialsumme Sk und berechnen sie den Grenzwert von S.
> Ja also so wie du die Funktion angibst,stimmt sie.Habe
> diesen Bruchstrich nicht gesehen.
>
> so habe das jetzt in brüche umgewandelt und dann erkennt
> man,dass nenner und Zähler beide immer einer mehr
> werden.Also:
> 1/2;2/3; 3/4; 4/5;5/6
Ja, genau.
>
> Jetzt müsste man halt wissen welcher bruch das erklärt.
> Ich denke mal dieser Bruch wäre dann Sk?
Du [mm] s_k [/mm] steht ja einfach für "k-te Partialsumme".
Man sucht nun [mm] s_k= [/mm] ... , und bei ... soll eine Rechenvorschrift stehen, die von k abhängt, so daß man nur noch das entsprechende k einsetzen muß (z:B: k=4711) und gleich weiß, wie die k-te Partialsumme lautet.
Ich weiß, daß das Tippen mühsam ist, ich schreibe ja selbst genug hier.
Aber Sparsamkeit an Anschlägen zahlt sich oft nicht aus.
Schau doch mal:
[mm] s_\red{1}=\red{1}/2
[/mm]
[mm] s_\red{2}=\red{2}/3
[/mm]
[mm] s_\red{3}=\red{3}/4
[/mm]
[mm] s_\red{4}=\red{4}/5
[/mm]
Was vermutest Du für [mm] s_\red{k}?
[/mm]
[mm] s_\red{k}=\bruch{???}{...}
[/mm]
Der Zähler sollte doch jetzt klar sein, oder?
Und jetzt schau doch mal, wie Zähler und Nenner jeweils zusammenhängen .
Also?
> Aber ich finde da
> keinen einheitlichen Bruch der diese Regelmäßigkeit
> erfüllt. Gibt es einen speziellen Weg den zu errechnen?
> weil raten...wie soll das gehen.
So wie ich es mache. Ich bin gerade mittendrin im Raten. Gezieltes Raten ist oftmals schneller als zu rechnen.
Man kann hier auch Rechnen, was passiert, habe ich in einer Anspielung in meinem Spiel mit Deinem "Reigen" erwähnt - ich zeige Dir das gern, wenn Du mit Raten fertig bist.
> Ich studiere übrigens Biologie.
Ah! Das ist eine wichtige Information - ich sehe, daß Du jetzt auch einen Eintrag im Profil hast.
Dann wirst Du das Erratene vermutlich nicht beweisen müssen - wenn man's kann, schadet's aber natürlich nicht.
> Mathe haben wir zum
> Glück nur im 1. Semester und müssen es auch nur bestehen.
> Note ist egal.
Ist die Klausur bei Euch Multiple Choice?
Besorg Dir auf jeden Fall beizeiten (am besten vorgestern...) alte Klausuren zum Üben.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | | Aufgabe 3 | | Gegeben sei die unendliche Reihe S= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)}. [/mm] Berechnen Sie die ersten 5 Reigenglieder sowie die dazu gehörenden Partialsummen Si. |
Raten Sie dann eine allgemeine Formel für für die k-te
Partialsumme Sk und berechnen sie den Grenzwert von S. |
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Stimmt wenn man es so aufschreibt sieht man es sehr gut (:
Also dann Sk= [mm] \bruch{k}{k+1}
[/mm]
Also Mulitple Choice ist der Test glaube ich nicht. Es ist aber so das ich manche Sachen auch kann. Habe bei diesem übungsblatt auch viele Aufgaben ganz allein gelöst. Vektorrechnung usw. hatten wir halt in der schule während dieses Reihenzeugs und auch Logarithmus zb gar nicht drankamen. Das fällt mir dann halt immer sehr schwer.Auch bei den Übungsblättern muss immer nur die Hälfte stimmen,die habe ich mit den Vektoraufgaben sicher schon,aber ich möchte halt schon sehen das ich möglichst ungefähr bei allen Aufgaben weiß,was man machen muss.
So jetzt wurde gesagt,um den Grenzwert zu finden muss man den Logarihtmus anwenden.Leider was was ich jetzt auch gar nicht in der Schule hatte. Bei so theoretischen Sachen mit Buchstaben finde ich das dann immer besonders schwer.
Naja erstmal können wir ja sehen ob mein Sk überhaupt stimmt (:
Danke übrigens schonmal für die Hilfe bis hier.
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> Gegeben sei die unendliche Reihe S=
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)}.[/mm] Berechnen Sie die
> ersten 5 Reigenglieder sowie die dazu gehörenden
> Partialsummen Si.
> Raten Sie dann eine allgemeine Formel für für die k-te
> Partialsumme Sk und berechnen sie den Grenzwert von S.
> Stimmt wenn man es so aufschreibt sieht man es sehr gut (:
>
> Also dann Sk= [mm]\bruch{k}{k+1}[/mm]
Hallo,
genau.
>
> Also Mulitple Choice ist der Test glaube ich nicht.
Es gibt Unis, bei der die Matheklausur für Biologen zum Ankreuzen ist.
Da gibt's dann keine Punkte für halbrichtig...
>
> So jetzt wurde gesagt,um den Grenzwert zu finden muss man
> den Logarihtmus anwenden.
Aber doch nicht bei dieser Aufgabe?
Wir wollen doch jetzt berechnen:
[mm] \lim_{k\to \infty}\bruch{k}{k+1}=\lim_{k\to \infty}\bruch{k+1-1}{k+1}=\lim_{k\to \infty}[1-\bruch{1}{k+1}].
[/mm]
Nun überlege Dir, was mit dem Bruch passiert, wenn k unendlich groß wird.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | siehe anfang der aufgabe |
Je gößer k wird,desto größer ist der Wert der aus der Formel herauskommt. weil je größer die zahl ist durch die man 1 teilt,umso kleiner ist das Ergebnis,welches ja dann von 1 subtrahiert wird.
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Hallo Julia031988,
> siehe anfang der aufgabe
> Je gößer k wird,desto größer ist der Wert der aus der
> Formel herauskommt. weil je größer die zahl ist durch die
> man 1 teilt,umso kleiner ist das Ergebnis,welches ja dann
> von 1 subtrahiert wird.
Das ist richtig - das Ergebnis ist also 1.
Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | | Berechnen Sie auch die Reihensumme exakt unter Verwendung der Formel [mm] \bruch{1}{i(i+1}=\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1}. [/mm] |
Ähm also hier verstehe ich jetzt wieder gar nicht was gewollt ist. Die Reihensumme wäre doch einfach die Lösung die bei der Formel herauskommt oder? Also so habe iche s zumindest aus dem Skript verstanden. Wir haben ja nun aber für i gra keine Werte,vondaher was soll man da noch exakt berechnen.Es ist ja auch keine Reihenlänge vorgegeben.
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> Berechnen Sie auch die Reihensumme exakt unter Verwendung
> der Formel [mm]\bruch{1}{i(i+1}=\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1}.[/mm]
> Ähm also hier verstehe ich jetzt wieder gar nicht was
> gewollt ist. Die Reihensumme wäre doch einfach die Lösung
> die bei der Formel herauskommt oder? Also so habe iche s
> zumindest aus dem Skript verstanden. Wir haben ja nun aber
> für i gra keine Werte,vondaher was soll man da noch exakt
> berechnen.Es ist ja auch keine Reihenlänge vorgegeben.
Hallo,
so, damit sind wir bei dem, was ich eingangs meinte mit: "die der Reihe zugrundeliegenden Folgenglieder tanzen auf einer Blumenwiese einen hübschen Reigen - und auf einmal verschwinden fast alle. Das ist dann nicht ganz so so niedlich - aber ein Glück für den den Reihenreigen studierenden Studenten.
Du sollst berechnen
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)}
[/mm]
Wir berechnen erstmal nicht bis [mm] \infty, [/mm] sondern bis - sagen wir 10. Also [mm] \summe_{i=1}^{10}\bruch{1}{i(i+1)}.
[/mm]
In Deinem Hinweis steht, daß [mm] \bruch{1}{i(i+1}=\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1}.
[/mm]
Also ist [mm] \summe_{i=1}^{10}\bruch{1}{i(i+1)}=\summe_{i=1}^{10}(\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1})
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{1}-\bruch{1}{1+1}) +(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+1})+(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3+1})+(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4+1})+(\bruch{1}{5}-\bruch{1}{5+1})+(\bruch{1}{6}-\bruch{1}{6+1})+(\bruch{1}{7}-\bruch{1}{7+1})+(\bruch{1}{8}-\bruch{1}{8+1})+(\bruch{1}{9}-\bruch{1}{9+1})+(\bruch{1}{10}-\bruch{1}{10+1})= [/mm] ??? (unbedingt ausrechnen ohne Taschenrechner!)
Wenn Du das hast, weißt Du bestimmt, was bei [mm] \summe_{i=1}^{157}\bruch{1}{i(i+1)}=\summe_{i=1}^{157}(\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1}) [/mm] herauskommt.
Und wenn die obere Grenze n ist? welches Ergebnis hast Du dann?
Danach noch den grenzwert für [mm] n\to \infty [/mm] - aber vorher lesen wir uns sicher noch.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Sa 28.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Julia,
meinst du mit "Klammer" das Summenzeichen [mm] \sum [/mm] ?
Wenn ja, sag nochmal Bescheid - ohne das zu kennen, wirst Du mit Reihen nicht arbeiten können. Angela hat Dir schon ein Beispiel für die Schreibweise gegeben, nämlich die Summe aller Quadrate von [mm] 1^2 [/mm] bis [mm] 5^2.
[/mm]
lg
reverend
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