unendliche Reihe, rausziehen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Unter welchen Umständen kann ich unendliche Reihen umformen? |
Hi,
ich hätte eine Frage zu unendlichen Reihen. Nämlich wann ich sie umformen darf und wann nicht, also zum Beispiel in mehrere Summen unterteilen.
Wenn ich zum Beispiel so einen Ausdruck habe:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (k^2+2k+1)(1-p)^k$
[/mm]
Darf ich dann die Reihe in drei aufteilen? Also so:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty k^2(1-p)^k+\sum_{k=0}^\infty 2k(1-p)^k+\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k$
[/mm]
Oder müsste ich zu erst folgende Umformung machen:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^\infty (k^2+2k+1)(1-p)^k$
[/mm]
Und dann die Reihe aufteilen?
Dann noch folgendes:
Kann ich einen Faktor einfach aus der Reihe rausziehen? Also ich weiß, dass man es darf, aber folgendes würde mir recht dubios vorkommen:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k=(1-p)\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k-1}$
[/mm]
Denn so könnte ich ja einfach alle Faktoren aus der Summe rausziehen und am Ende würde da nichts sinnvolles rauskommen.
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hi,
>
> ich hätte eine Frage zu unendlichen Reihen. Nämlich wann
> ich sie umformen darf und wann nicht, also zum Beispiel in
> mehrere Summen unterteilen.
>
> Wenn ich zum Beispiel so einen Ausdruck habe:
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (k^2+2k+1)(1-p)^k[/mm]
>
> Darf ich dann die Reihe in drei aufteilen?
Wenn die einzelnen Reihen konvergieren, ja. Schließlich gilt: Sind [mm] $(a_n), (b_n)$ [/mm] konvergent gegen a bzw. b, so konvergier [mm] (a_n+b_n) [/mm] gegen a+b.
> Also so:
> [mm]\sum_{k=0}^\infty k^2(1-p)^k+\sum_{k=0}^\infty 2k(1-p)^k+\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k[/mm]
>
> Oder müsste ich zu erst folgende Umformung machen:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^\infty (k^2+2k+1)(1-p)^k[/mm]
>
> Und dann die Reihe aufteilen?
>
> Dann noch folgendes:
>
> Kann ich einen Faktor einfach aus der Reihe rausziehen?
> Also ich weiß, dass man es darf, aber folgendes würde mir
> recht dubios vorkommen:
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k=(1-p)\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k-1}[/mm]
Wenn p nicht gerade 1 ist, dann ist es ok.
> Denn so könnte ich ja einfach alle Faktoren aus der Summe
> rausziehen und am Ende würde da nichts sinnvolles
> rauskommen.
>
> Mfg
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, vielen Dank.
Ich kann also die Reihe
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (k^2+2k+1)(1-p)^k$
[/mm]
auf Konvergenz prüfen und dann so auseinanderziehen, oder muss ich hinterher die Reihen in die ich es aufteile jeweils auf Konvergenz untersuchen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Letzteres. Daraus folgt dann automatisch die Konvergenz von $ [mm] \sum_{k=0}^\infty (k^2+2k+1)(1-p)^k [/mm] $.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Fr 21.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Andy,
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k=(1-p)\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k-1}[/mm]
>
> Wenn p nicht gerade 1 ist, dann ist es ok.
Was ist denn verkehrt an [mm] $p=1\$?
[/mm]
Hallo YuSul,
Das ist eine geometrische Reihe und wir erhalten Konvergenz für [mm] $|q|<1\$.
[/mm]
Falls der Gedankengang aus der Wahrscheinlichkeitstheorie stammt,
dann überlege dir was [mm] $p\$ [/mm] eigentlich ist und wieso das klappt.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:37 Fr 21.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DieAcht!
> > > [mm]\sum_{k=0}^\infty (1-p)^k=(1-p)\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k-1}[/mm]
>
> >
> > Wenn p nicht gerade 1 ist, dann ist es ok.
>
> Was ist denn verkehrt an [mm]p=1\[/mm]?
Auf der rechten Seite wäre der "Summand" für $k=0$ dann [mm] $0^{-1}$, [/mm] was gar nicht definiert ist.
[mm] ($(1-p)^k=(1-p)(1-p)^{k-1}$ [/mm] gilt im Falle $k=0$ nur für [mm] $1-p\not=0$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Fr 21.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Tobias,
> > > Wenn p nicht gerade 1 ist, dann ist es ok.
> > Was ist denn verkehrt an [mm]p=1\[/mm]?
> Auf der rechten Seite wäre der "Summand" für [mm]k=0[/mm] dann [mm]0^{-1}[/mm], was gar nicht definiert ist.
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
> ([mm](1-p)^k=(1-p)(1-p)^{k-1}[/mm] gilt im Falle [mm]k=0[/mm] nur für [mm]1-p\not=0[/mm].)
Vielen Dank für deine Korrektur / Erklärung!
Beste Grüße
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Fr 21.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Oder müsste ich zu erst folgende Umformung machen:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^\infty (k^2+2k+1)(1-p)^k[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gegeben sei eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n\in\IR. [/mm]
Die entsprechende Reihe mit den Gliedern [mm] a_n [/mm] ist das Symbol
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm]
Die Zahlen
[mm] S_1=a_1 [/mm]
[mm] S_2=a_1+a_2 [/mm]
[mm] \ldots [/mm]
[mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}a_n [/mm]
heißen Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n. [/mm]
Diese bilden eine weitere Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}, [/mm] die sogenannte Partialsummenfolge.
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt konvergent, falls ihre Partialsummenfolge [mm] (S_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.
Die Summe der Reihe ist der Grenzwert der Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}. [/mm]
Es gilt bei Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=a:=\limes_{N\rightarrow\infty}S_N=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n [/mm]
Das Symbol [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] hat demnach zwei verschiedene Bedeutungen.
Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe der Reihe.
Gruß
DieAcht
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