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unendliche Reihe untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Di 12.06.2007
Autor: macio

Aufgabe
Unersuchen sie die Unendliche Rheie
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^3} [/mm] + ...
mit Wurzel - u. Quotientenkriterium auf Konvergenz!

Quotientenkriterium ist ja: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{a_n_+_1}{a_n} } [/mm]
Wurzelkriterium ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\vmat{a_n}} [/mm]

Ich weis aber leider nicht wie ich [mm] a_n [/mm] defieneren soll!
oder vll erst die Rheie als Summe darstellen?
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^n} [/mm]

Danke schon mal im Voraus

        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Di 12.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo macio,

ja zuerst die Reihe mal aufzuschreiben ist ne gute Idee:

[mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right) [/mm]


Also ist "dein" [mm] a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n} [/mm]

Damit berechne mal den [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm]

Da musste ein bissl erweitern und umformen, dann geht das schon ;-)


LG

schachuzipus

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Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Di 12.06.2007
Autor: macio

Also [mm] \bruch{\bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1}}{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}} [/mm] =( [mm] \bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1} )\* [/mm] ( [mm] \bruch{2^n}{1}+\bruch{3^n}{1}) [/mm] = [mm] \bruch{5^n}{2^n^+^1} [/mm] + [mm] \bruch{5^n}{3^n^+^1 } [/mm] ??
Ist das so korrekt? Wenn ja, wie geht es weiter?

Bezug
                        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Di 12.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Also [mm]\bruch{\bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1}}{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}}[/mm]
> =( [mm]\bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1} )\*[/mm] (
> [mm]\bruch{2^n}{1}+\bruch{3^n}{1})[/mm] = [mm]\bruch{5^n}{2^n^+^1}[/mm] +
> [mm]\bruch{5^n}{3^n^+^1 }[/mm] ??
>  Ist das so korrekt? Wenn ja, wie geht es weiter?

Das ist Unfug, der Anfang stimmt.

Dann erweitern bzw gleichnamig machen:

[mm] \frac{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}}=\frac{\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{2^{n+1}3^{n+1}}}{\frac{3^n+2^n}{2^n3^n}}=\frac{6^n}{6^{n+1}}\cdot{}\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n}=\frac{1}{6}\cdot{}\frac{3^n\cdot{}3+2\cdot{}2^n}{3^n+2^n} [/mm]

Hier klammere mal im Zähler und Nenner [mm] 3^n [/mm] aus, dann mache den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm]


Gruß

schachuzipus

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Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Di 12.06.2007
Autor: macio

[mm] \frac{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}}=\frac{\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{2^{n+1}3^{n+1}}}{\frac{3^n+2^n}{2^n3^n}}=\frac{6^n}{6^{n+1}}\cdot{}\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n}=\frac{1}{6}\cdot{}\frac{3^n\cdot{}3+2\cdot{}2^n}{3^n+2^n} [/mm]

Ich blick da jetzt gar nicht durch....wie hast du denn den Term erweitert und wie bist du denn überhaupt auf erweitern gekommen?  
Wie hast du den Term gekürzt? [mm] \frac{\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{2^{n+1}3^{n+1}}}{\frac{3^n+2^n}{2^n3^n}} [/mm] so,  das dieser rauskommt [mm] \frac{6^n}{6^{n+1}}\cdot{}\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 12.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,

nun, du hast im Zähler und Nenner jeweils eine Summe von zwei Brüchen, die addiert man, indem man sie gleichnamig macht.

Bei der anderen Umformung habe ich den unteren Bruch dieses Doppelbruchs als Kehrwert mit nem "MAL" dahintergeschrieben
(Man dividieret durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert)

Weiter habe ich [mm] 3^n\cdot{}2^n [/mm] zusammengefasst zu [mm] (3\cdot{}2)^n=6^n [/mm]
(Potenzgesetze)

Analog mit [mm] 3^{n+1}\cdot{}2^{n+1} [/mm]

Dann habe ich die 6en zusammengefasst und [mm] 6^n [/mm] gekürzt

LG

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 Di 12.06.2007
Autor: macio

Alles klar, Danke vielmals!

Bezug
                                
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Di 12.06.2007
Autor: macio

Wie soll ich denn jetzt [mm] 3^n [/mm] ausklammern? Kirg das nicht hin, da wir im Zähler und Nenner ja auch [mm] 2^n [/mm] haben

Bezug
                                        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: 3^n ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Di 12.06.2007
Autor: Loddar

Hallo macio!


Ein Tipp zum Ausklammern ... es gilt:

[mm] $2^n [/mm] \ = \ [mm] 3^n*\bruch{2^n}{3^n} [/mm] \ = \ [mm] 3^n*\left(\bruch{2}{3}\right)^n$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Di 12.06.2007
Autor: macio

Also :
[mm] \bruch{3^n(3+\bruch{2^n^+^1}{3^n})}{3^n(1+\bruch{2^n}{3^n})} [/mm]
= [mm] \bruch{3+\bruch{2^n}{3^n}}{1+\bruch{2^n}{3^n}} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3+\bruch{2^\infty}{3^\infty}}{1+\bruch{2^\infty}{3^\infty}} [/mm]
=3

Bezug
                                                        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Di 12.06.2007
Autor: Loddar

Hallo macio!


Da stimmt so. Und was heißt das dann für den gesamten Quotientenausdruck [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] ? Ist dieser Ausdruck größer oder kleiner als 1?


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Di 12.06.2007
Autor: macio

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] >1 somit divergent

Bezug
                                                                        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Di 12.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo macio,

nicht den Überblick verlieren, du hast hier lediglich einen Teilausdruck von [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}, [/mm] der gegen 3 geht,

erinnere dich, dass wir oben noch einen Vorfaktor [mm] \cdot{}\frac{1}{6} [/mm]  hatten.

der [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{6}\cdot{}3=\frac{1}{2} [/mm]

Somit konvergiert (!!) die Reihe - sogar absolut

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Di 12.06.2007
Autor: Loddar

Hallo macio!


Einen Nachsatz noch ...

>  = [mm]\bruch{3+\bruch{2^n}{3^n}}{1+\bruch{2^n}{3^n}}[/mm]
>  [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3+\bruch{2^\infty}{3^\infty}}{1+\bruch{2^\infty}{3^\infty}}[/mm]

Hier ist es sauberer, wenn Du mit der Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] schreibst:

$= \ [mm] \bruch{3+0}{1+0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{1} [/mm] \ = \ 3$


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
unendliche Reihe untersuchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Di 12.06.2007
Autor: schachuzipus

Hoi,

bei WK aufpassen, oder ist es nur ein Schreibfehler?

Du musst [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\red{n}]{\left|a_n\right|} [/mm] bestimmen!!


Gruß

schachuzipus

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