unendliche Reihen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Konvergieren die folgenden Reihen?
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n^2}{3^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(2n+1)!} [/mm] |
Zu a)
Ich habe das Qutientenkriterium genommen:
[mm] \vmat{\bruch{a_n_+_1}{a_n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(n+1)^2}{3^n^+^1}}{\bruch{n^2}{3^n}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2}{3^n^+^1} \* \bruch{3^n}{n^2} [/mm] So nun weis ich nicht mehr weiter....
wie fasse ich den Term (durch kürzen, erweiter..etc.) zusammen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Di 12.06.2007 | | Autor: | Zaed |
Hallo macio
dein Weg ist richtig, ich würde hier aber das Wurzelkriterium anwenden:
[mm] \bruch{\wurzel[n]{n^2}}{\wurzel[n]{3^n}} = \bruch{1}{3}*\wurzel[n]{n^2} [/mm]
So nun bilde den Grenzwert im unendlichen.. ist er kleiner 1?
zu b)
Da verwendest du das Majorantenkriterium, du kannst die Funktion der Reihe doch durch [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] abschätzen, also:
[mm] 0 \le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2n+1)!} \le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm]
wobei die rechtes Reihe ja konvergiert...
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Hi,
wenn du's mit dem QK machen möchtest, forme so weiter um:
[mm] \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}\frac{3^n}{n^2}=\frac{3^n}{3\cdot{}3^n}\frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2
[/mm]
Das [mm] \frac{1}{3} \longrightarrow \frac{1}{3} [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
Und das [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 [/mm] strebt gegen....?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
[mm] \frac{3^n}{3\cdot{}3^n}\frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 [/mm]
Wie hast du das zusammen gefasst??
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Hi,
im ersten Schritt [mm] 3^n [/mm] gekürzt, im zweiten Schritt
[mm] \left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^2=\left(1+\frac{1}{n}\right)^2
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
JA natürlich, Danke.
Der gesamte ausdruck strebt gegen [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
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> JA natürlich, Danke.
> Der gesamte ausdruck strebt gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
genau und [mm] \frac{1}{3}<1, [/mm] damit konvergiert die Reihe (absolut)
LG
schachuzipus
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