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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 20.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die unendlichen Reihen
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} cos^{n}x
[/mm]
[mm] b)\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}x^{n}
[/mm]
für alle x 2 IR auf Konvergenz. |
Hier eine aufgabe wo ich auch noch einen Ansatz brauche, damit ich diese Aufgabe lösen kann.
Ich bin so froh, dass ich hier Hilfe finde, da ich viele Aufgaben mache und nicht zu allen immer einen Lösungsansatz habe.
Echt ein super Forum!!
LG Toni
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> Untersuchen Sie die unendlichen Reihen
> [mm]a)\summe_{n=1}^{\infty} cos^{n}x[/mm]
> [mm]b)\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}x^{n}[/mm]
>
> für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] auf Konvergenz.
> Hier eine aufgabe wo ich auch noch einen Ansatz brauche,
> damit ich diese Aufgabe lösen kann.
a) es ist ja [mm] $|\cos(x)|\leq [/mm] 1$. Im Falle [mm] $|\cos(x)|<1$ [/mm] konvergiert die Reihe, da es sich in diesem Falle um eine geometrische Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$ [/mm] mit $|q|<1$ handelt. Im Falle [mm] $|\cos(x)|=1$ [/mm] konvergiert die Reihe nicht, weil in diesem Falle die Reihenglieder noch nicht einmal eine Nullfolge bilden. Nun müsste man diese Bedingungen für den Betrag des [mm] $\cos(x)$ [/mm] noch als Bedingungen für $x$ formulieren...
b) Wegen [mm] $|(-1)^{n+1}x^n|=|x|^n$ [/mm] hat man im Falle $|x|<1$ eine absolut konvergente Reihe mit der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty |x|^n=\frac{1}{1-|x|}$ [/mm] als konvergente Majorante der Reihe der Beträge [mm] $\sum_{n=0}^\infty|(-1)^{n+1}x^n|$: [/mm] die Reihe ist in diesem Falle also konvergent. Für $|x|=1$ hat man wieder das Problem, dass die Reihenglieder noch nicht einmal eine Nullfolge bilden: die Reihe divergiert.
> Ich bin so froh, dass ich hier Hilfe finde, da ich viele
> Aufgaben mache und nicht zu allen immer einen Lösungsansatz
> habe.
Na, aber vom Quotientenkriterium und dem Wurzelkriterium hast Du doch sicher schon gehört: diese Kriterien für absolute Konvergenz könntest Du hier auch anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 20.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
a)
gegeben ist ja n=1 bis [mm] \infty [/mm] , daher müsste der fall |cos(x)|> 1 weg fallen oder etwa nicht?
Also konvergiert die Reihe nicht!
würde es da ausreichen, wenn wie du sagtest es sich um eine geometrische reihe handelt ich dies mit dem Majorantenkriterium beweise?
b)
für |x|< 1 ist mir das klar, da hast du das Majorantenkriterium benutzt und damit verglichen und festgestellt, dass in diesem fall die reihe konvergiert.
Den rest hab ich noch nicht verstanden, also wie es für |x|=1 aussieht. Müsste man doch noch den fall für |x|> 1 definieren?
die Kriterien hatten wir, bin da aber überhaupt noch nicht hintergestiegen, deswegen fällt mir das hier ja alles so schwer.
LG Toni
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> a)
> gegeben ist ja n=1 bis [mm]\infty[/mm] , daher müsste der fall
> |cos(x)|> 1 weg fallen oder etwa nicht?
[mm] $|\cos(x)|>1$ [/mm] ist für [mm] $x\in \IR$ [/mm] gar nicht möglich.
>
> Also konvergiert die Reihe nicht!
Ob die Reihe konvergiert oder nicht hängt davon ab, welchen Wert $x$ hat: das war doch der Witz bei dieser Aufgabe. Wenn [mm] $|\cos(x)|=1$ [/mm] ist, dann konvergiert die Reihe in der Tat nicht. Also für [mm] $x=n\cdot\pi$, $n\in \IZ$, [/mm] konvergiert die Reihe nicht, für alle anderen [mm] $x\in \IR$ [/mm] konvergiert sie.
> b)
> für |x|< 1 ist mir das klar, da hast du das
> Majorantenkriterium benutzt und damit verglichen und
> festgestellt, dass in diesem fall die reihe konvergiert.
>
> Den rest hab ich noch nicht verstanden, also wie es für
> |x|=1 aussieht.
Für $x=1$ pendeln die Reihenglieder zwischen $+1$ und $-1$ hin und her: die Reihe konvergiert nicht (dass die Folgenglieder eine Nullfolge bilden, ist für Konvergenz der Reihe notwendig: und hier nicht erfüllt).
Analog: für $x=-1$ sind die Folgenglieder konstant $-1$ und daher konvergiert die Reihe in diesem Falle auch nicht.
Kurz: für $|x|<1$ konvergiert die Reihe, für [mm] $|x|\geq [/mm] 1$ konvergiert sie nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 20.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Achso ja gut dann ists klar.
ich werd mich jetzt nochmal damit beschäftigen, wenn ich dann noch eine Frage habe meld ich mich morgen nochmal.
Aber vielen Dank bis hierhin. hast mir sehr geholfen!!
Gruß Toni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 20.01.2008 | | Autor: | patsch |
Hallo
zu a)
Die Reihe konvergiert doch auch nicht für |cos x| = 0 oder?
mfg patsch
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> Hallo
>
> zu a)
> Die Reihe konvergiert doch auch nicht für |cos x| = 0
> oder?
In diesem Falle handelt es sich um die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty 0^n$. [/mm] Was erscheint Dir an dieser Reihe, apropos Konvergenz, problematisch? - Alle Reihenglieder sind doch $0$, die Partialsummen sind demnach konstant $0$ und konvergieren somit mit der grössten Selbstverständlichkeit gegen ... gegen den Grenzwert $0$, also ist in diesem Falle [mm] $\sum_{n=1}^\infty \cos^n(x)=0$.
[/mm]
N.B: Dies ist bloss ein Spezialfall der Bedingung [mm] $|\cos [/mm] x|<1$, bzw. [mm] $x\neq n\cdot \pi$ [/mm] (für ein [mm] $n\in \IZ$), [/mm] die ich für Konvergenz dieser Reihe vorgeschlagen hatte.
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