unendliche viele Zahlen finden < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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a) Es gibt unendlich viele Zahlen [mm] n\in \IN, [/mm] sodass [mm] \mu (n)+\mu(n+1)=0
[/mm]
b) Es gibt unendlich viele Zahlen [mm] n\in \IN, [/mm] sodass [mm] \mu (n)+\mu(n+1)=-1 [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
Also [mm] \mu [/mm] ist ja die sogenante Möbiusfunktion und die haben wir folgendermaßen defininiert: 1, wenn n=1, 0, wenn n nicht quadratfrei ist und [mm] (-1)^r, [/mm] wenn n das Produkt von r versch. Primzahlen.
Also zu b) hatte ich mir folgendes überlegt. Für alle Primzahlen ergibt die Möbiusfunktion den Wert -1, somit müsste [mm] \mu [/mm] (p+1) =0 sein, aber leider trifft dies nicht zu für p=5, denn p+1 ist 6 und [mm] \mu(6)=1. [/mm] Ich hatte gedacht, dass alle primzahlen die Gleichung erfüllen und wir haben gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, aber leider stimmt dies nicht. Vielleicht muss man sich bestimmte Primzahlen heraussuchen. Hat einer ne Idee?
Zu a) habe ich eigentlich keine Idee. Im Prinzip kann man ja ne unendliche Zahlenfolge angeben. ich bin mal die ersten 20 Zahlen durchgegangen, welche die Gleichung erfüllen und bin auf folgende Zahlen gekommen:
1,5,6,8,10,13. Leider erkenne ich keine Regelmäßigkeit, sodass ich eine allgemeine Zahlenfolge angeben könnte.
Hat einer ne Idee zu beiden Aufgaben?
Mit feundlichem Gruß
TheBozz-mismo
Vielen Dank schonmal
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Hallo TheBozz-mismo,
Idee zur a)
Suche n, n-1 die jeweils nicht quadratfrei sind.
n ein Quadrat wär ein Anfang.
zur b)
n prim ist eine gute Idee. Das mit spezielllen Primzahlen auch.
Gibt es Primzahlen mit n+1 quadratbehaftet?
Anmerkungen zu deiner Idee für a)
Die ersten 20 Werte zu überprüfen ist ein bisschen wenig um irgendeine Aussage treffen zu können. Außerdem ist nicht nach einer Aufzählung aller n mit der gewünschten Eigenschaft gefragt, sondern nach einer leicht hinzuschreiben unendlich großen Teilmenge davon. Wenn blöd läuft sind in deiner Beispielmenge gar keine in dieser Teilmenge.
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