unendliches Produkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo nochmal!
> Ja, ich bin fleißig am Rechnen... 
> Nachdem ich nun eine unendliche Summe berechnet habe, weiß
> ich leider immer noch nicht, wie ich ein unendliches
> Produkt berechne. Folgende Aufgabe habe ich dazu:
>
> Man berechne das unendliche Produkt
> [mm]\produkt_{n=2}^{\infty}\bruch{n^3-1}{n^3+1},[/mm] d.h. den Limes
> der Folge [mm]p_k:=\produkt_{n=2}^{k}\bruch{n^3-1}{n^3+1}, k\ge[/mm]
> 2.
>
> Hier hilft keine Partialbruchzerlegung, oder? Gibt's da was
> Ähnliches für Produkte? Oder was mache ich hiermit? Kürzen
> kann man auch nicht, und wenn ich den Bruch als Produkt von
> zwei Brüchen schreibe, komme ich auch nicht weiter.
> Wer weiß einen Ansatz?
Ich würde mal den Zähler zerlegen:
[mm] $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$
[/mm]
Und den Nenner:
[mm] $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$
[/mm]
Damit wird dein Produkt zu
[mm] $\produkt_{n=2}^k\bruch{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}=$
[/mm]
[mm] $\produkt_{n=2}^k\bruch{n-1}{n+1} [/mm] * [mm] \produkt_{n=2}^k\bruch{n^2+n+1}{n^2-n+1}$
[/mm]
Setzen wir doch einfach mal $k=7$
Dann wird der erste Teil des obigen Produktes zu
[mm] $\bruch{1*2*3*4*5*6}{3*4*5*6*7*8}$
[/mm]
Da kürzt sich doch einiges weg, und es bleibt wohl (wieder mit $k_$):
[mm] $\bruch{2}{k(k+1)}$
[/mm]
Der zweite Teil des obigen Produktes wird zu (was du noch zeigen solltest ):
[mm] $\bruch{7*13*21*31*43*57}{3*7*13*21*31*43}$
[/mm]
Auch da kürzt sich einiges weg, und es bleibt:
[mm] $\bruch{k^2+k+1}{3}$
[/mm]
Insgesamt also
[mm] $\bruch{2(k^2+k+1)}{k(k+1)*3}$ [/mm] mit dem Grenzwert [mm] $\bruch{2}{3}$
[/mm]
Falls ich mich nicht verrechnet habe. Bitte genauestens überprüfen! 
Herzlichst
Paul
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 Do 24.11.2005 | | Autor: | jonsen |
Moment, warum kann man
$ [mm] \bruch{2(k^2+k+1)}{k(k+1)\cdot{}3} [/mm] $
einfach auf $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ kürzen? Immerhin ist da ja noch ne 1 mehr in der quadratischen Gleichung des Zählers?!
Liegt es an der späten Stunde dass ich da was übersehen habe?
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Hallo!
> Moment, warum kann man
>
> [mm]\bruch{2(k^2+k+1)}{k(k+1)\cdot{}3}[/mm]
>
> einfach auf [mm]\bruch{2}{3}[/mm] kürzen? Immerhin ist da ja noch
> ne 1 mehr in der quadratischen Gleichung des Zählers?!
>
> Liegt es an der späten Stunde dass ich da was übersehen
> habe?
Es steht da ja nicht direkt, dass gekürzt wurde, sondern da wurde der Grenzwert gebildet. Und da steht ja quasi:
[mm] \bruch{2k^2+2k+2}{3k^2+3k} [/mm] = [mm] \bruch{2+\bruch{2}{k}+\bruch{2}{k^2}}{3+\bruch{3}{k}}
[/mm]
und das geht für [mm] k\to\infty [/mm] eben genau gegen [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
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![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
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![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]"){kind=small}
