ungleichung ( komplizierter ) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Und auch hier stecke ich fest:
[mm] \bruch{a}{b+c} [/mm] + [mm] \bruch{b}{c+a} [/mm] + [mm] \bruch{c}{a+b} \ge \bruch{3}{2} [/mm] , für a,b, c > o.
Da die Zahlen größer 0 sind, hatte ich überlegt, ob ich einfach für alle Variablen "1" einsetze.
Dann würde ich erhalten :
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \ge \bruch{3}{2} [/mm] .
Und damit wäre mein Beweis ja eigentlich ferog. Aber meine Frage ist : Darf ich das so einfach machen oder muss ich den Beweis irgendwie anders aufziehen???
Wenn ja wie??? DANKE!!!!!!!
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Guten Morgen Anna!
> [mm]\bruch{a}{b+c}[/mm] + [mm]\bruch{b}{c+a}[/mm] + [mm]\bruch{c}{a+b} \ge \bruch{3}{2}[/mm] , für a,b, c > 0.
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> Da die Zahlen größer 0 sind, hatte ich überlegt, ob ich
> einfach für alle Variablen "1" einsetze.
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> Dann würde ich erhalten :
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> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \ge \bruch{3}{2}[/mm] .
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> Und damit wäre mein Beweis ja eigentlich ferog. Aber meine
> Frage ist : Darf ich das so einfach machen oder muss ich
> den Beweis irgendwie anders aufziehen???
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") So einfach get das leider nicht. Du hast diese Ungleichung ja nun nur für den Spezialfall $a \ = \ b \ = \ c \ = \ 1$ nachgewiesen.
Ziel dieses Beweises ist jedoch, dies auch allgemein (d.h. für alle Werte von a, b und c) zu zeigen.
Multipliziere doch einfach mal diese Ungleichung mit dem Hauptnenner der linken Seite und bringe anschließend alles auf die linke Seite (Klammern nicht ausmulitplizieren!) ...
Durch geeignetes Ausklammern kommt man dann weiter.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Anna
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> [mm]\bruch{a}{b+c}[/mm] + [mm]\bruch{b}{c+a}[/mm] + [mm]\bruch{c}{a+b} \ge \bruch{3}{2}[/mm]
> , für a,b, c > o.
>
Multiplizieren mit 2 (um den Bruch zu eliminieren):
[mm] $\bruch{2a}{b+c}+\bruch{2b}{c+a}+\bruch{2c}{a+b}\ge [/mm] 3$
Mit dem Generalnenner multipliziert und alles auf die linke Seite genommen, erhältst du:
[mm] $2a^3+2b^3+2c^3-a^2b-a^2c-ab^2-ac^2-b^2c-bc^2 \ge [/mm] 0$
du überzeugst dich leicht, dass das das selbe ist wie:
[mm] $(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2 \ge [/mm] 0$
Wie du jetzt leicht überlegst (Quadratzahlen verknüpft mit positiven Faktoren) sind alle drei Summanden nicht-negativ, womit du auch schon fertig bist. 
Mit vielen Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo Paulus!
Danke für die schnelle rückmeldung! :)
Allerdings kann ich dir nicht ganz folgen. Du hast erst mit 2 multipliziert ( das ist mir noch klar! )
Und dann hast du dort 3 Brüche stehen die
[mm] \ge [/mm] 3 sind.
Aber der Schritt der danach kommt ist mir unklar. Wo ist denn die 3 hingekommen? ???
Das verstehe ich nicht ganz.
UND: Ich soll ja ziegen dass alles zusammen [mm] \ge \bruch{3}{2} [/mm] ist, aber das habe ich mit deinem Beweis doch gar nicht gezeigt??
DANKE :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mi 06.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Ja ich hatte auch selbst gerechnet, hatte aber vergessen die 3 usw. nach links zu nehmen und habe mich gewundert wo die negativen Werte herkommen,.
Manachmal hat man eben ein Brett vorm Kopf :(
DANKE !"!!!!!!!!!!!!1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ein wahrhaft wunderbarer Beweis ist der Folgende (die gegebene Ungleichung heißt übrigens Nesbitts Ungleichung):
[mm] $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}-1+\frac{b}{c+a}+\frac{c+a}{c+a}-1+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}-1\geq \frac{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq \frac{9}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw ((a+b)+(b+c)+(c+a))\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\geq [/mm] 9$
[mm] $\gdw 1+\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+1+\left(\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}\right)+1+\left(\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}\right)\geq [/mm] 9$
[mm] $\gdw \left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+\left(\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}\right)+\left(\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}\right)\geq [/mm] 6$
Die Terme in den Klammern haben alle die Form [mm] $x+\frac{1}{x}$. [/mm] Für positives, reelles $x$ ist dieser Ausdruck aber immer größer gleich 2, da [mm] $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\geq 0\gdw x+\frac{1}{x}\geq [/mm] 2$.
Schätzt du die drei KLammern jeweils durch 2 nach unten ab, erhältst du
$ [mm] 6\geq [/mm] 6$,
was offensichtlich richtig ist ;)
Liebe Grüße,
Hanno
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