ungleichung mit absolut-betrag < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 So 06.11.2005 | | Autor: | tom.bg |
hali halo
hat jemand eine idee wie soll ich diese aufgabe lösen, ich kann nicht anfangen!!!
....
sei K ein angeordneter Körper. Für alle x,y [mm] \in [/mm] K zeige man:
1. [mm] ||x|-|y||\le|x\pmy|
[/mm]
2. [mm] |x+y|^{2}+|x-y|^{2}=2(|x|^{2}+|y|^{2})
[/mm]
zum ersten teil habe ich bekommen: [mm] |x|-|y|\le||x|-|y||
[/mm]
und [mm] |x|-|y|\le|x \pm [/mm] y| weiter....?!!!
zum zweiten teil, ist so etwas möglich? :
[mm] |x+y|^{2}+|x-y|^{2}=2(|x|^{2}+|y|^{2})
[/mm]
mit [mm] |x+y|^{2}=|(x+y)^{2}| [/mm] (aber ist DAS richtig??)
[mm] |(x+y)^{2}|+|(x-y)^{2}|= |x|^{2}+|2xy|+|y|^{2}+|x|^{2}-|2xy|+|y|^{2}=2(|x|^{2}+|y|^{2})
[/mm]
vielleicht ist das sehr leichter aufgabe aber ich habe keine ahnung was damit tun
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 So 06.11.2005 | | Autor: | choosy |
Irgendwas hast du noch vergessen denke ich , denn sei [mm] $K=\IR$ [/mm] und
$x=1$ sowie $y=10$
dann steht in behauptung 1:
$9<1$ und damit ist aussage 1 hinfällig....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 So 06.11.2005 | | Autor: | tom.bg |
danke das du mir dass gezeigt hast, formeleditor spinnt oder ich kann im nicht nutzen soll sein:
$ [mm] ||x|-|y||\le|x \pm [/mm] y| $
im klaren text:( I IxI - IyI I ) kleine-gleich ( I x plus/minus y I )
wo grosse i beduetet absolut-betrag
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 07.11.2005 | | Autor: | tobes |
Zu zeigen: |x [mm] \pm [/mm] y| [mm] \ge [/mm] ||x|-|y||
Um diese Aussage zu beweisen mache ich eine Fallunterscheidung für x und y:
1. Seien x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0. Es ist dann |x+y|=x+y [mm] \ge [/mm] x-y=|x|-|y|. (Da mit x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0 gilt: x+y [mm] \ge [/mm] 0, |x|=x und |y|=y.)
2. Seien x<0, y [mm] \ge [/mm] 0 und x+y [mm] \ge [/mm] 0. Es gilt dann |x+y|=x+y [mm] \ge [/mm] -(x+y)=-x-y=|-x|-|y|=|x|-|y|. (Denn es gilt: -x>0 und |-x|=|x|.)
3. Seien x<0, y [mm] \ge [/mm] 0 und x+y<0. Es gilt |x+y|=-(x+y)=-x-y=|-x|-|y|=|x|-|y|.
4. Seien x [mm] \ge [/mm] 0, y<0, x+y [mm] \ge [/mm] 0. Es gilt |x+y|=x+y=x-(-y)=|x|-|-y|=|x|-|y|.
5. Seien x [mm] \ge [/mm] 0, y<0, x+y<0. Es gilt |x+y|=-(x+y)=-x-y>-(-x-y)=x-(-y)=|x|-|-y|=|x|-|y|.
6. Seien x<0, y<0. Es ist dann auch x+y<0, also |x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|-x|+|-y|=|x|+|y|>|x|-|y|.
Insgesamt gilt also für alle x und y: |x+y| [mm] \ge [/mm] |x|-|y|.
Damit folgt aber sofort |x-y|=|x+(-y)| [mm] \ge [/mm] |x|-|-y|=|x|-|y|.
Also gilt |x [mm] \pm [/mm] y| [mm] \ge [/mm] |x|-|y|.
Damit beweis man nun schnell die erste Aussage.
Denn es gilt: |x+y|=|y+x| \ ge |y|-|x| und |x-y|=|-(x-y)|=|y-x| [mm] \ge [/mm] |y|-|x|. Also |x pm y| [mm] \ge [/mm] |y|-|x|.
Da nun |x [mm] \pm [/mm] y| [mm] \ge [/mm] |x|-|y| UND |x pm y| [mm] \ge [/mm] |y|-|x| gelten folgt sofort die zu beweisende Aussage:
|x [mm] \pm [/mm] y| [mm] \ge [/mm] | |x|-|y| |. [mm] \Box
[/mm]
Auch die zweite Aussage würde ich mit einer Fallunterscheidung für x,y bzw. x+y,x-y beweisen.
MfG tobes...
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