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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Do 20.11.2008 | | Autor: | bene88 |
| Aufgabe | a,b [mm] \in \IR+ [/mm] und x [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] |a^x-b^x| \le |a-b|^x [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe das ganze jetzt in zwei fälle aufgeteilt:
1. a>b
[mm] \Rightarrow a^x>b^x [/mm] und [mm] -a^x<-b^x
[/mm]
dann:
[mm] |a^x-b^x| [/mm] = [mm] a^x-b^x [/mm] und [mm] |a-b|^x [/mm] = [mm] (a-b)^x
[/mm]
[mm] a^x-b^x \le (a-b)^x
[/mm]
[mm] \gdw a^x \le b^x [/mm] + [mm] (a-b)^x
[/mm]
hier weiß ich jetzt nicht weiter vorzugehen. da [mm] a^x [/mm] ja leider größer ist als [mm] b^x
[/mm]
(im zweiten fall a<b erhalte ich analog:
[mm] |a^x-b^x| [/mm] = [mm] -(a^x-b^x) [/mm] = [mm] -a^x [/mm] + [mm] b^x
[/mm]
[mm] |a-b|^x [/mm] = [mm] (-(a-b))^x [/mm] = [mm] (-a+b)^x
[/mm]
[mm] \Rightarrow -a^x+b^x \le (-a+b)^x
[/mm]
[mm] \gdw b^x\le a^x [/mm] + [mm] (-a+b)^x [/mm] )
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analysis I an der rwth? wenn ja, da sitz ich auch :D
dein beitrag hat mir so eben den entscheidenen schritt geliefert zum lösen der aufgabe.
und zwar war dein letzter schritt ja:
[mm] a^x \leq b^x [/mm] + [mm] (a-b)^x
[/mm]
Dies kann man jetzt aber wie folgt umformen:
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \leq \bruch{b^x}{a^x} [/mm] + [mm] \bruch{(a-b)^x}{a^x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \leq (\bruch{b}{a})^x [/mm] + [mm] (\bruch{(a-b)}{a})^x
[/mm]
[jetzt nicht ganz sicher ob o.k.]:
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \leq [/mm] - [mm] (-\bruch{b}{a})^x [/mm] + [mm] (1-\bruch{b}{a})^x
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 + [mm] (-\bruch{b}{a})^x [/mm] = [mm] (1-\bruch{b}{a})^x
[/mm]
und dies ist offensichtlich ein spezialfall von aufgabe a) [für den fall dass du in der gleichen VL sitzt wie ich :D]
(a' [mm] +1)^x \leq (a')^x [/mm] +1 und diese Aussage ist bereits bewiesen worden.
die restlichen fälle sind analog oder trivial. einziges problem ist der schritt wo ich in und vor die Klammer ein '-' schreibe, bin mir net sicher ob das ok ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 20.11.2008 | | Autor: | bene88 |
Ja, ich sitzte auch in der Vorlesung von dem netten herrn mit dem lustigen akzent 
> [jetzt nicht ganz sicher ob o.k.]:
> [/mm] 1 [mm]\leq[/mm] - [mm](-\bruch{b}{a})^x[/mm] + [mm](1-\bruch{b}{a})^x[/mm]
ich denke schon dass das so ok geht wie du das gemacht hast.
> [mm]\gdw[/mm] 1 + [mm](-\bruch{b}{a})^x[/mm] = [mm](1-\bruch{b}{a})^x[/mm]
das gleichheitszeichen erklärt sich mir nicht ganz. wenn du bei dem [mm] \le [/mm] bleibst, dann hat man aber das problem, dass das zeichen umgedreht werden müsste denn
> 1 + [mm](-\bruch{b}{a})^x[/mm]
entspräche ja dann der rechten seite unseres beweises aus der vorlesung.
> (a' [mm]+1)^x \leq (a')^x[/mm] +1
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:12 Sa 22.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> analysis I an der rwth? wenn ja, da sitz ich auch :D
> dein beitrag hat mir so eben den entscheidenen schritt
> geliefert zum lösen der aufgabe.
> und zwar war dein letzter schritt ja:
>
> [mm]a^x \leq b^x[/mm] + [mm](a-b)^x[/mm]
>
> Dies kann man jetzt aber wie folgt umformen:
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\leq \bruch{b^x}{a^x}[/mm] + [mm]\bruch{(a-b)^x}{a^x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\leq (\bruch{b}{a})^x[/mm] + [mm](\bruch{(a-b)}{a})^x[/mm]
>
> [jetzt nicht ganz sicher ob o.k.]:
> [mm]\gdw 1 \leq - (-\bruch{b}{a})^x + (1-\bruch{b}{a})^x[/mm]
x ist eine reelle Zahl, da ist die Potenz für negative Basis nicht definiert. Und für den Grenzfall x=0 ist es sogar offensichtlich falsch.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Sa 22.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a,b [mm]\in \IR+[/mm] und x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> [mm]|a^x-b^x| \le |a-b|^x[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> ich habe das ganze jetzt in zwei fälle aufgeteilt:
>
> 1. a>b
> [mm]\Rightarrow a^x>b^x[/mm] und [mm]-a^x<-b^x[/mm]
Überlege folgendes: es ist zu zeigen, dass die Funktion
[mm] f(x) = \bruch{a^x-b^x}{(a-b)^x} \le 1 [/mm] für [mm] $x\in [/mm] [0,1]$
ist.
Betrachte zunächst die Grenzfälle x=0 und x=1 und überlege dir, welche Eigenschaft die Funktion haben könnte, damit die Aussage stimmt.
> (im zweiten fall a<b erhalte ich analog:
Der Fall ist uninteressant, weil er durch Vertauschung von a und b in den ersten übergeführt werden kann.
Wichtiger ist der Grenzfall a=b.
Viele Grüße
Rainer
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