ungleichungen mit beträgen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo zusammen...
ich hab leider in der schule nie wirklich mit beträgen rechnen gelernt
jetzt steht ich vollkommen ratlos aufm schlauch
ich soll zeigen:
d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)
mit d: [mm] \IR \times \IR \mapsto \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] |x-y|
das ergibt bei mir die ungleichung
|x-y| [mm] \le [/mm] |x-z| + |z-y|
und weiter?
ebenfalls vollkommen ratlos bin ich bei
zeige: |x-y| [mm] \ge [/mm] | |x|-|y| |
danke schonmal für die hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo zusammen...
> ich hab leider in der schule nie wirklich mit beträgen
> rechnen gelernt
> jetzt steht ich vollkommen ratlos aufm schlauch
> ich soll zeigen:
> d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
> mit d: [mm]\IR \times \IR \mapsto \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] |x-y|
>
> das ergibt bei mir die ungleichung
> |x-y| [mm]\le[/mm] |x-z| + |z-y|
>
> und weiter?
ist Dir die Dreiecksungleichung in [mm] $\IR$ [/mm] nicht bekannt? Na dann musst Du sie noch beweisen. Mache dazu ein paar Fallunterscheidungen:
1. Fall: Sei $x [mm] \ge [/mm] z$ und $z [mm] \ge [/mm] y$:
Dann gilt insbesondere $x [mm] \ge [/mm] y$ und daher:
$|x-y|=x-y= x-z+z-y=|x-z|+|z-y| [mm] \le |x-z|+|z-y|\,.$ [/mm] Also stimmt in diesem Fall die Ungleichung.
2. Fall: Sei $z [mm] \ge [/mm] x$ und $z [mm] \ge [/mm] y$. Dann gilt:
[mm] $|x-z|+|z-y|=-(x-z)+z-y=2z-x-y\,.$ [/mm] Nun sind noch zwei Fälle möglich:
[mm] $\alpha)$ [/mm] Sei nun zudem $x [mm] \ge y\,.$ [/mm] Dann gilt also [mm] $|x-y|=x-y\,.$ [/mm] Die Ungleichung
$$|x-y| [mm]\le[/mm] |x-z| + |z-y|$$
ist in diesem Falle also äquivalent zu $x-y [mm] \le [/mm] 2z - x [mm] -y\,.$ [/mm] Nun gilt aber:
$x-y [mm] \le [/mm] 2z - x - y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2x [mm] \le [/mm] 2z$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \le z\,.$
[/mm]
Hier folgt die Ungleichung also aus $x [mm] \le [/mm] z$ (starte unten und folgere nach oben durch Benutzen der [mm] $\Leftarrow$ [/mm] bei den [mm] $\gdw$-Zeichen.)
[/mm]
[mm] $\beta)$ [/mm] Sei nun zudem $x [mm] \le [/mm] y$. Hier gilt dann $|x-y| [mm] \le [/mm] |x-z| + |z-y|$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-(x-y) [mm] \le [/mm] 2z-x-y$ [mm] $\gdw$ [/mm] $y [mm] \le z\,.$ [/mm] Hier folgt die Ungleichung also aus der Tatsache $y [mm] \le z\,.$
[/mm]
3. Fall: Sei $x [mm] \ge [/mm] z$ und $y [mm] \ge [/mm] z$. Dann...
4. Fall: Sei $z [mm] \ge [/mm] x$ und $y [mm] \ge [/mm] z$. Dann...
(Überlege das mal alles zu Ende.)
> ebenfalls vollkommen ratlos bin ich bei
> zeige: |x-y| [mm]\ge[/mm] | |x|-|y| |
Naja, dazu musst Du zunächst das obige zeigen, und zwar, dass für alle $x,yz [mm] \in \IR$ [/mm] die Dreiecksungleichung $|x-y| [mm] \le [/mm] |x-z|+|z-y|$ gilt. Nun beachte, dass für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $$(\star)\;\;\;|r| \le \varepsilon \gdw -\varepsilon \le [/mm] r [mm] \le \varepsilon\,.$$
[/mm]
Bei Dir kannst Du dann [mm] $\varepsilon:=|x-y| \ge [/mm] 0$ und $r=|x|-|y|$ definieren. Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] hast Du nun damit also zwei Ungleichungen zu beweisen:
1.) Zeige, dass $-|x-y| [mm] \le |x|-|y|\,$ [/mm] (also [mm] $-\varepsilon \le r\,.$) [/mm]
(Es sollte Dir helfen, dass Du die Dreiecksungleichung, die Du ja vorher bewiesen hast, auf $y$ so anwenden kannst:
[mm] $$|y|=|\underbrace{(y-x)}_{=:a}+x| \le |a|+|x|\,.$$ [/mm] Siehst Du es nun?)
2.) Zeige, dass auch $|x|-|y| [mm] \le |x-y|\,$ [/mm] (also $r [mm] \le \varepsilon$).
[/mm]
(Starte nun so: $|x|=|(x-y)+y| [mm] \le [/mm] ...$ und dann steht es auch schon (fast) da.)
1.) und 2.) liefern zusammen mit [mm] '$\Leftarrow$' [/mm] aus [mm] $(\star)$ [/mm] dann die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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