unitärer VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 So 14.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Vektorraum. Sei [mm] L:V\rightarrow [/mm] V lineare Abbildung mit [mm] L^2=-Id.
[/mm]
Beh.: Setzt man [mm] \mathbb{C}\times V\rightarrow V [/mm] mit [mm](x+iy,v)\mapsto xv+yL(v) [/mm] mit [mm] (x,y\in \mathbb{R}) [/mm], so ist V ein unitärer VR. |
Hallo,
ich muss doch hier zeigen:
[mm] (\cdot, \cdot) [/mm] ist hermitesch und positiv definit. Das hoffe ich zumindest.
Dann habe ich bereits geschafft: [mm] (\lambda_1 z_1+\lambda_2z_2,v)=\lambda_1(z_1,v)+\lambda_2(z_2,v), [/mm] wobei [mm] \lambda_1,\lambda_2, z_1, z_2 \in \mathbb{C} [/mm] und [mm] v\in \mathbb{R}.
[/mm]
Was ich nicht hinbekomme ist, [mm] (v,w)=\overline{(w,v)} [/mm] mit [mm] v\in \mathbb{C} [/mm] und [mm] w\in [/mm] V und positive Definitheit auch noch nicht so recht.
Ich muss wohl irgendwo verwenden, dass V euklidisch ist und, dass [mm] L^2=-id [/mm] ist. Das habe ich noch nicht gemacht, weil ich natürlich auch nicht weiß, wo ich es anwenden muss.
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> Sei V ein euklidischer Vektorraum. Sei [mm]L:V\rightarrow[/mm] V
> lineare Abbildung mit [mm]L^2=-Id.[/mm]
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> Beh.: Setzt man [mm]\mathbb{C}\times V\rightarrow V[/mm] mit
> [mm](x+iy,v)\mapsto xv+yL(v) [/mm] mit [mm](x,y\in \mathbb{R}) [/mm],
> so ist V ein unitärer VR.
> Hallo,
>
> ich muss doch hier zeigen:
> [mm](\cdot, \cdot)[/mm] ist hermitesch und positiv definit. Das
> hoffe ich zumindest.
Hallo,
was meinst Du denn mit [mm] (\cdot, \cdot) [/mm] ?
Da oben in der Aufgabenstellung wird ein Produkt von komplexen Zahlen mit Vektoren aus V definiert.
Von diesem Produkt wirst Du die Eigenschaften hermitesch und positiv definit nicht zeigen können, denn besagte Eigenschaften sind Eigenschaften von Bilinearformen bzw. Skalarprodukten, aber nicht von Produkten von Vektoren mit Skalaren.
Um zu zeigen, daß es sich um einen unitären Vektorraum handelt, würde ich erstmal nachweisen, daß daß V mit obigem Produkt ein Vektorraum über [mm] \IC [/mm] ist.
Wenn man das hat, müßte man über das "unitär" nachdenken.
Da V nach Voraussetzung ein euklidischer Vektorraum ist, hast Du dort ein Skalarprodukt.
Und nun müßte man überlegen, ob man in dem neuen Raum auch eins hat, bzw. man müßte es erst definieren, oder?
Irgendwie wird mir ein bißchen schwindelig. Ist das eigentlich die komplette Aufgabenstellung, oder gehört noch etwas dazu?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Di 16.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Irgendwie wird mir ein bißchen schwindelig. Ist das
> eigentlich die komplette Aufgabenstellung, oder gehört noch
> etwas dazu?
>
> Gruß v. Angela
>
Schwindelig wird dir zurecht. Die Aufgabenstellung war so falsch. Das "unitär" gehört gestrichen, genauso wie "euklidisch". War ein Fehler im Skript.
Ich bin bereits selbst auf die Lösung gekommen.
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> Schwindelig wird dir zurecht. Die Aufgabenstellung war so
> falsch.
Hallo,
danke für Deine Nachricht. Da bin ich beruhigt.
Gruß v. Angela
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