unitärer VR äquival. Aussagen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien V, <,> ein eindlichdimensionaler Vektorraum und F:V -> V ein Endomorphismus. Zeigen Sie:
(a) Es gibt stets eine orthonormale Basis von V, wobei die darstellende Matrix von F eine obere Dreiecksmatrix ist.
(b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) Es gibt eine orthonormale Basis von V , wobei die darstellende Matrix von F eine Diagonalmatrix ist. (ii) Es gilt F*F = FF*, wobei F* den adjungierten Endomorphismus F beueichnet.
Teil (b) ist eine Form des Spektralsatzes. Überstetzt in den Matrizenkalkül: [mm] A\in(nxn, \IC) [/mm] ist genau dann unitär diagonalisierbar, wenn [mm] \overline{A}^{t}A=A\overline{A}^{t}. [/mm] Eine solche Matrix heisst normal. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich soll diese Aufgabe bis Montag lösen und ich habe keine Ahnung wie!
Im Buch 'Lineare Algebra' von 'Gerd Fischer' S.345 (falls es jemand zur Hand hat) habe ich folgendes Theorem gefunden: Für jeden Endomorphismus F eines [mm] \IC-Vektorraums [/mm] V sind folgende Bedeutungen gleichwertig:
i). Es gibt eine Orthonormalbasis von V bestehend aus den Eigenvektoren von F.
ii). F ist normal.
Meine Frage: ist das i). aus dem Theorem gleichbedeutend mit der ersten zu erfüllenden Bedingung aus der Aufgabenstellung Teil b). ? wenn ja, dann hab ich den Beweis im Buch, ansonsten hab ich keine Ahnung was ich machen soll..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Im Buch 'Lineare Algebra' von 'Gerd Fischer' S.345 (falls
> es jemand zur Hand hat) habe ich folgendes Theorem
> gefunden: Für jeden Endomorphismus F eines [mm]\IC-Vektorraums[/mm]
> V sind folgende Bedeutungen gleichwertig:
> i). Es gibt eine Orthonormalbasis von V bestehend aus den
> Eigenvektoren von F.
> ii). F ist normal.
>
> Meine Frage: ist das i). aus dem Theorem gleichbedeutend
> mit der ersten zu erfüllenden Bedingung aus der
> Aufgabenstellung Teil b)?
Ja, denn Diagonalisieren heißt doch gerade, eine Basis aus Eigenvektoren zu finden.
Gruß, Robert
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Das finde ich jetzt aber toll! dann schau ich mal, dass ich den Beweis im Buch verstehe! Vielen Dank für die schnelle Antwort!
lg schneehasi
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