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| Aufgabe | [mm] f_1:UxV [/mm] -> [mm] X_1 [/mm] und [mm] f_2:UxV [/mm] -> [mm] X_2 [/mm] haben die univ. Eigenschaft.
Zeigen sie die Eindeutigkeit des Tensorproduktes, indem es einen Isomorpgismus g: [mm] X_1 [/mm] -> [mm] X_2 [/mm] gibt. |
Auf Grund er u.E. folgt, dass es
[mm] g_1: X_1 [/mm] -> [mm] X_2 [/mm] und [mm] g_2: X_2 [/mm] -> [mm] X_1 [/mm] gibt
dann ist [mm] g_1 \circ g_2 \circ f_2 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] und [mm] g_2 \circ g_1 \circ f_1 [/mm] = [mm] f_1
[/mm]
Also [mm] g_1 \circ g_2 [/mm] = [mm] id_(im_f_2) [/mm] und [mm] g_2 \circ g_1 [/mm] = [mm] id_(im_f_1)
[/mm]
Wie sehe ich nun, dass g := [mm] g_1 [/mm] ein isomorphismus ist? Als begründung wird angegeben, dass [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] zueinander inverse Isomorphismen sind, was ist nicht sehe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Di 16.08.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> [mm]f_1:UxV[/mm] -> [mm]X_1[/mm] und [mm]f_2:UxV[/mm] -> [mm]X_2[/mm] haben die univ.
> Eigenschaft.
>
> Zeigen sie die Eindeutigkeit des Tensorproduktes, indem es
> einen Isomorpgismus g: [mm]X_1[/mm] -> [mm]X_2[/mm] gibt.
>
> Auf Grund er u.E. folgt, dass es
>
> [mm]g_1: X_1[/mm] -> [mm]X_2[/mm] und [mm]g_2: X_2[/mm] -> [mm]X_1[/mm] gibt
>
> dann ist [mm]g_1 \circ g_2 \circ f_2[/mm] = [mm]f_2[/mm] und [mm]g_2 \circ g_1 \circ f_1[/mm]
> = [mm]f_1[/mm]
>
> Also [mm]g_1 \circ g_2[/mm] = [mm]id_(im_f_2)[/mm] und [mm]g_2 \circ g_1[/mm] =
> [mm]id_(im_f_1)[/mm]
>
> Wie sehe ich nun, dass g := [mm]g_1[/mm] ein isomorphismus ist? Als
> begründung wird angegeben, dass [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] zueinander
> inverse Isomorphismen sind, was ist nicht sehe.
Wenn [mm] \alpha \circ \beta [/mm] injektiv ist, dann ist [mm] \beta [/mm] injektiv, und wenn [mm] \alpha \circ \beta [/mm] surjektiv ist, dann ist [mm] \alpha [/mm] surjektiv. Das ist relativ leicht zu beweisen, und daraus folgt dann alles.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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