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| Aufgabe | Für welche a ,c /in [mm] \IR [/mm] ist das reelle Gleichungssystem
x + 2 y + 3z = 1
4x + 5 y+ 6z = 2
7x + 8y +az = 3
5x + 7y + 9z = c
(i) lösbar ,(ii) eindeutig lösbar und (iii) unlösbar. Geben sie jeweils die Lösungsmenge an. |
Ein lineares Gleichungssystem Ax=b ist
nicht lösbar , wenn Rg A < Rg ( A,b)
lösbar , wenn Rg A = Rg ( A , b)
eindeutig lösbar , wenn Rg A = Rg ( A , b ) = n
Habe dann erstmal in Matrizenform gebracht.
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 2 \\ 7 & 8 & a & 3 \\ 5 & 7 & 9 & c}
[/mm]
Das habe ich dann in ZSF gebracht und habe erhalten :
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c-3}
[/mm]
also wäre (iii) unlösbar bei a [mm] \not= [/mm] 9 und c [mm] \not= [/mm] 3
wie mache ich nun weiter?
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> Für welche a ,c /in [mm]\IR[/mm] ist das reelle Gleichungssystem
> x + 2 y + 3z = 1
> 4x + 5 y+ 6z = 2
> 7x + 8y +az = 3
> 5x + 7y + 9z = c
>
> (i) lösbar ,(ii) eindeutig lösbar und (iii) unlösbar.
> Geben sie jeweils die Lösungsmenge an.
> Ein lineares Gleichungssystem Ax=b ist
> nicht lösbar , wenn Rg A < Rg ( A,b)
> lösbar , wenn Rg A = Rg ( A , b)
> eindeutig lösbar , wenn Rg A = Rg ( A , b ) = n
>
> Habe dann erstmal in Matrizenform gebracht.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 2 \\ 7 & 8 & a & 3 \\ 5 & 7 & 9 & c}[/mm]
>
> Das habe ich dann in ZSF gebracht und habe erhalten :
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c-3}[/mm]
>
> also wäre (iii) unlösbar bei a [mm]\not=[/mm] 9 und c [mm]\not=[/mm] 3
Hallo,
für die Unlösbarkeit mußt Du schauen, ob in der ZSF vor einem von Null verschiedenen Element der letzten Spalte eine Nullzeile steht. Das ist entscheidend, denn dann ist Rg A < Rg ( A,b)
Hier passiert das, wenn [mm] c\not=3 [/mm] ist.
Das a ist in diesem Zusammenhang uninteressant.
Nun sagst Du: sei c=0 , dann ist nämlich rangA=Rang(A|b), und Du untersuchst die Art der Lösbarkeit.
Unter welchen Umständen ist Rang A= 3? Das liefert die eindeutige Lösbarkeit.
Gruß v. Angela
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[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c-3}
[/mm]
Kann ich nicht sagen , wenn es eindeutige Lösung des Gleichungssystems geben soll muss det A [mm] \not= [/mm] 0 sein.
Habe die obere Matrix dann umgeformt
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & a-9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c-3}
[/mm]
Da das untere Dreieck nur aus Nullen besteht kann ich doch die Elemente der Diagonalen von links oben beginnend multiplizieren und erhalte die Determinante.
det A = 1 * (-3)*(a-9)*(c-3) Nun muss ich sehen , wann dieser Term = 0 wird , also bei c-3= 0 oder a-9 =0 . Demnach ist das Gleichungssystem doch eindeutig lösbar bei [mm] c\not=3 [/mm] und [mm] a\not=9 [/mm] dann wäre (i) = die Lösbarkeit trivial.
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Das c hatte ich natürlich schon bei (iii) also unlösbar bestimmt. was nun?!
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Hallo DieerstenSchritte,
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c-3}[/mm]
>
> Kann ich nicht sagen , wenn es eindeutige Lösung des
> Gleichungssystems geben soll muss det A [mm]\not=[/mm] 0 sein.
> Habe die obere Matrix dann umgeformt
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & a-9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c-3}[/mm]
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> Da das untere Dreieck nur aus Nullen besteht kann ich doch
> die Elemente der Diagonalen von links oben beginnend
> multiplizieren und erhalte die Determinante.
> det A = 1 * (-3)*(a-9)*(c-3) Nun muss ich sehen , wann
> dieser Term = 0 wird , also bei c-3= 0 oder a-9 =0 .
> Demnach ist das Gleichungssystem doch eindeutig lösbar bei
> [mm]c\not=3[/mm] und [mm]a\not=9[/mm] dann wäre (i) = die Lösbarkeit
> trivial.
Nein, das kannst Du nicht sagen.
Wir hatten ja schon, daß das Gleichungssystem für [mm]c \not= 3[/mm] unlösbar ist.
Demnach ist das Gleichungssystem für [mm]c=3[/mm] lösbar.
Ob dieses Gleichungssystem für c=3 jetzt eindeutig
oder mehrdeutig lösbar ist, hängt von dem Parameter a ab.
Gruß
MathePower
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