untere Dreiecksmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Trigonalisieren sie folgende Matrix
4 0 0
0 3 2
1 1 2
Körper: Z/3Z
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Da ich im Körper ´Z/3Z bin kann ich die Matrix auch so schreiben.
1 0 0
0 0 2
1 1 2
Berechne das charakteristische Polynom
A-x*I
1-x 0 0
0 -x 2
1 1 2-x
Entwicklung nach der ersten Spalte
(1-x)*((-x*(2-x)-2
[mm] =(1-x)(-2x+x^2-2)
[/mm]
= [mm] -2x+x^2-2+2x^2-x^3+2x
[/mm]
[mm] =-x^3+3x^2-2
[/mm]
=> da Körper Z/3Z
[mm] =2x^3+1
[/mm]
= [mm] 2(x-1)^3
[/mm]
Eigenwert also 1
Berechnung eines Eigenvektors:
A-I
0 0 0
0 2 2
1 1 1
II-2*III
0 0 0
1 0 0
1 1 1
III-II
0 0 0
1 0 0
0 1 1
Zeilen vertauschen
1 0 0
0 1 1
0 0 0
Also Eigenvektoren:
v3 = s, v2 = -s= 2s und v1 = 0
Also ist ein Eigenvektor v= (0,2,1)
Ergänze zu einer Basis B
B=(v,e1,e2) in
Stelle nun die zugehörige Matrix auf, Vektoren in Spalten
T=
0 1 0
2 0 1
1 0 0
Berechne die Inverse, diese stimmt, hab ich mit einem PC Programm berechnet
T^-1 =
0 0 1
1 0 0
1 1 1
Dann müsste T^-1*A*T folgende Matrix ergeben:
1 0 0
0 a b
0 c d
wobei a,b,c,d im Moment noch egal sind. 1 ist der Eigenwert und die oberen zwei nullen sind die Einträge a12 und a13 der ursprünglichen Matrix A.
Die anderen zwei nullen müssen auch da stehen.
Rechne ich nun T^-1*A=
1 1 2
1 0 0
1 1 1
und dann noch mal
T
1 1 1
0 1 0
0 1 1
bei mir stehen aber an den stellen a12 und a13 jeweils eine 1 und das darf nicht sein .
Vielleicht kann mir jemand sagen, wo ich mich verrechnet habe, da ich den Fehler nicht finde.
Habe diese Frage auf keinem anderen Forum gepostet
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> Trigonalisieren sie folgende Matrix
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> 4 0 0
> 0 3 2
> 1 1 2
> Körper: Z/3Z
> Berechne das charakteristische Polynom
> = [mm]2(x-1)^3[/mm]
> Eigenwert also 1
>
> Berechnung eines Eigenvektors:
> Also ist ein Eigenvektor v= (0,2,1)
Hallo,
einen Rechenfehler habe ich nicht gesehen.
Der Fehler ist wohl hier:
>
> Ergänze zu einer Basis B
> B=(v,e1,e2) in
Du ergänzt nun "irgendwie" zu einer Basis.
Da ist aber nicht unbedingt zu erwarten, daß das dann eine Dreiecksmatrix ergibt.
Willst Du eigentlich eine untere oder eine obere?
Untere:
nimm den Eigenvektor als dritten Basisvektor.
Was muß der zweite leisten? Er muß auf eine Linearkombination aus sich selbst und dem dritten abgebildet werden.
Den ersten kannst Du dann beliebig ergänzen.
Obere:
nimm den Eigenvektor als ersten Basisvektor.
Was muß der zweite leisten? Er muß auf eine Linearkombination aus sich selbst und dem ersten abgebildet werden.
Den dritten kannst Du dann beliebig ergänzen.
Gruß v. Angela
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Danke
Das war mein Fehlaer
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