vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mangaka |
| Aufgabe | 1.Überprüfe, ob die folgenden Mengen mit den angebenen Verknüpfungen Vektorräume sind.
a)
[mm] $U=\IR^2$ [/mm] über [mm] $\IR$ [/mm] mit $ [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 & +y_1 & +1 \\ x_2 & +y_2 & +1 \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
b)
[mm]
P= \left\{
f= a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 \in \IR [t] | a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 0
\right\}
[/mm]
mit den von [mm] \IR[/mm] [t] induzierten Verknüpfungen
2.
a) bildet die folgende Familie von Vektoren eine Erzeugendes System von [mm] $\IR^3$
[/mm]
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
b)
Sei V ein Vektorraum und [mm] $v_1, v_2 \in [/mm] V$. Beweisen Sie: Wenn [mm] (v_1, v_2) [/mm] linear undabhängig ist und $w [mm] \not\in Spann(v_1, v_2)$, [/mm] so ist [mm] $(v_1, v_2, [/mm] w)$ linear unabhängig |
hi,
ich bin's mal wieder mit nem sack voller fragen.
zu
1.a)
ich wollte hier eigentlich den untervektorraum-test anwenden und zeigen, dass $U [mm] \ne \{ \}$ [/mm] und dass die lineakombination zweier Vektoren aus U wieder in U liegt.
den test kann ich anwenden, weil ich weiss, dass [mm] \IR^2 [/mm] ein vektorraum ist.
mein problem ist jetzt, dass nach den vektorraum-axiomen, U kein Vektor sein kann, aber nach dem untergruppen test schon(wahrscheinlcih weil ich da was falsch verstanden habe)
nach einem axiom, müsste das inverse eines vektors die negation desselbigen sein. zusammen addiert müssten dann diese vektoren den null-vektor, sprich das neutrale element bzgl. addition, ergeben.
hier funktioniert das aber net, weil hier immer [mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
rauskommen würde.
gehen wir mal die untergruppen tests durch:
U darf keine leere menge sein. das ist doch hier gegeben oder? alleine wegen U = [mm] \IR [/mm] ist U doch keine leere menge.
und die zweite bedingung funktioniert auch.
versteht ihr mein dilemma?
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1b)
hier bitte ich um eine starthilfe. hab keinen ansatz (böse polynome)
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zur 2. aufgabe: link: https://matheraum.de/read?i=470285
vielen dank fuer eure aufmerksamkeit :D
mfg mangaka
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> 1.Überprüfe, ob die folgenden Mengen mit den angebenen
> Verknüpfungen Vektorräume sind.
> a)
> [mm]U=\IR^2[/mm] über [mm]\IR[/mm] mit [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & +y_1 & +1 \\ x_2 & +y_2 & +1 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \end{pmatrix}[/mm]
> zu
> 1.a)
> ich wollte hier eigentlich den untervektorraum-test anwenden und zeigen, dass [mm]U \ne \{ \}[/mm] und dass die lineakombination zweier Vektoren aus U wieder in U liegt.
> den test kann ich anwenden, weil ich weiss, dass [mm]\IR^2[/mm] ein vektorraum ist.
Hallo,
hier tappst Du zielstrebig in eine Falle.
Der [mm] \IR^2 [/mm] ist mit den einschlägigen Verknüpfungen, die man aus dre Schule kennt, ein Vektorraum.
Hier aber ist die Addition ja anders definiert, Du kannst also daher die Unterraumkriterien nicht anwenden.
Unterraumkriterien: man braucht eine nichtleere Teilmenge des (Ober-)Vektorraumes - die hat man hier.
Und man braucht dieselben Verknüpfungen - die hat man hier nicht.
Folglich mußt Du auch chnen, hier ein völlig anderes neutrales und andere inverse Elemente zu haben.
Versuch mal herauszufinden, was das neutrale Element ist!
Recht hast Du damit, daß das kein Vektorraum ist.
Du brauchst nur vorzuführen, welches der VR-Axiome verletzt wird.
> b)
> [mm]
P= \left\{
f= a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 \in \IR [t]| a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 0
\right\}
[/mm]
> mit den von [mm]\IR[/mm] [t]induzierten Verknüpfungen
Die Polynome sollen hier so addiert und mit Skalaren multipliziert werden, wie im großen VR R[t]. Wie also?
Ich nehme an, daß Ihr gezeigt habt,daß die Polynome oder die Polynome vom Höchstgrad 3 einen Vektorraum bilden.
Da hier dieseben Verknüpfungen wie im OberVR genommen werden, kannst Du mit den UVR-Kriterien arbeiten.
Klarmachen mußt Du Dir, welche Polynome in der fraglichen Menge sind: die, deren Koeffizienten aufaddiert 0 ergeben.
Die Aufgabe 2 stell bitte in einer eigenen Diskussion. das wird sonst zu unübersichtlich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mangaka |
hmmm...okay. ich mach mir mal gleich gedanken darüber.
find nur komisch, dass uns gesagt wurde, dass wir die untervektorraum-tests anwenden sollen.
mach mich gleich daran die beiden aufgaben zu bearbeiten. bis gleich ;)
ähm...die anderen beiden aufgaben, poste ich dann in einen neuen thread...
vielen dank fuer die hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 16.11.2008 | | Autor: | mangaka |
hi,
ich bearbeite gerade die übung und hab' nun das raus:
a)
1) und 2)
abgeschlossenheit ist gegeben, sowie das assoziativgesetz, da man auf komponentenebene addiert und multipliziert. die komponenten sind alle aus [mm] \IR [/mm] und wir wissen von [mm] \IR, [/mm] das es ein körper ist
3)
das neutrale element müsste hier:
$e = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] sein, denn:
[mm] $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1-1+1 \\ x_2-1+1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ [/mm]
4)
aber wie ich es vermutet habe, gibts ein problem beim inversen element:
es gibt kein [mm] \lambda [/mm] , sodass man das inverse bestimmen könnte, oder?
ich meine: ein [mm] \lambda [/mm] kann nicht auf 2 verschiedene komponenten, hier [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$, [/mm] +1 addieren...
wie beweise ich das mathematisch?
edit: habe gerade festgestellt, dass auch eine regel der skalarmultiplikation nicht stimmt:
$( [mm] \lambda [/mm] + [mm] \beta [/mm] ) v = [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \beta [/mm] v$ das klappt natuerlich nicht, wegen der definition der addition hier.
b)
1)z.z.: $U [mm] \not\in [/mm] = [mm] \{ \}$
[/mm]
beweis:
hier liegt keine leere menge vor, da mind. die null in ihr enthalten ist, denn:
falls [mm] $a_0=a_1=a_2=a_3 [/mm] = 0$, dann
$0 + 0x + [mm] 0x^2 [/mm] + [mm] 0x^3 [/mm] = 0$
2)z.z: abgeschlossen unter skalarmultiplikation und addition
beweis:
[mm]
a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + b_0 + b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3
[/mm]
[mm]
a_0+b_0 + a_1 t + b_1 t + a_2 t^2+b_2 t^2 + a_3 t^3 + b_3 t^3
[/mm]
[mm]
a_0+b_0 + t ( a_1 + b_1) + t^2 ( a_2 + b_2) + t^3 ( a_3 + b_3 )
[/mm]
wir wissen:
[mm] $a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] = 0$ und
[mm] $b_0 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] = 0$
also:
[mm] $a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + [mm] b_0 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3$
[/mm]
[mm] $=(a_0+ b_0)+(a_1 +b_1) +(a_2 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] +( [mm] a_3 [/mm] + [mm] b_3) [/mm] $
$= 0$
*die klammern dienen zur verdeutlichung*
d.h. die abgeschloßenheit gilt.
und? ist das so richtig?
mfg manaka
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> hi,
> ich bearbeite gerade die übung und hab' nun das raus:
>
> edit: habe gerade festgestellt, dass auch eine regel der
> skalarmultiplikation nicht stimmt:
> [mm]( \lambda + \beta ) v = \lambda v + \beta v[/mm] das klap
Hallo,
genau.
Und diese eine verletzte Regel, die sehr augenfällig ist, reicht, um die Eigenschaft "Vektorraum" zu widerlegen. Mehr brauchst Du in Deienr HÜ nicht zu schreiben.
Am besten, Du rechnest es für ein bestimmtes Element vor, z.b für [mm] (5+7)*\vektor{1\\2}.
[/mm]
>
>
> b)
> 1)z.z.: [mm]U \not\in = \{ \}[/mm]
> beweis:
> hier liegt keine leere menge vor, da mind. die null in ihr
> enthalten ist, denn:
> falls [mm]a_0=a_1=a_2=a_3 = 0[/mm], dann
> [mm]0 + 0x + 0x^2 + 0x^3 = 0[/mm]
>
> 2)z.z: abgeschlossen unter skalarmultiplikation und
> addition
> beweis:
> [mm]
a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + b_0 + b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3
[/mm]
>
> [mm]
a_0+b_0 + a_1 t + b_1 t + a_2 t^2+b_2 t^2 + a_3 t^3 + b_3 t^3
[/mm]
>
> [mm]
a_0+b_0 + t ( a_1 + b_1) + t^2 ( a_2 + b_2) + t^3 ( a_3 + b_3 )
[/mm]
>
>
> wir wissen:
> [mm]a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 0[/mm] und
> [mm]b_0 + b_1 + b_2 + b_3 = 0[/mm]
>
> also:
> [mm]a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + b_0 + b_1 + b_2 + b_3[/mm]
> [mm]=(a_0+ b_0)+(a_1 +b_1) +(a_2 + b_2) +( a_3 + b_3)[/mm]
>
> [mm]= 0[/mm]
> *die klammern dienen zur verdeutlichung*
>
> d.h. die abgeschloßenheit gilt.
>
>
> und? ist das so richtig?
Ja. Prima!
Die Multiplikation mit Skalaren mußt Du natürlich noch machen, aber die ist jetzt wirklich kein Hexenwerk mehr.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 16.11.2008 | | Autor: | mangaka |
zu a)
ähm war das aber richtig mit dem skalar? oder muss es gar kein skalar geben mit dem man das inverse zu einem vektor bilden kann?
zu b)
jetzt komm ich mir dumm vor...ich dachte die multiplikation mit t wäre schon das skalar :/
oder heisst skalarmultiplikation, wenn ich das ganze polynom mit einem skalar multipliziere? also
[mm] $\lambda (a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_3 x^3)$ [/mm] ???
vielen dank noch einmal fuer deine mühen :D
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> zu a)
> ähm war das aber richtig mit dem skalar?
Hallo,
daß [mm] [\lambda [/mm] + [mm] \nu)v=\lambda [/mm] V + [mm] \nu [/mm] v verletzt ist, war richtig, und ich habe gesagt, daß Du das ganz konkret vorrechnen sollst.
> oder muss es gar
> kein skalar geben mit dem man das inverse zu einem vektor
> bilden kann?
Doch. das steht zwar nicht in den VR-Axiomen, ist aber eine Folgerung daraus.
Ich würde mich allerdings, wenn es um die Prüfung "VR ja oder nein" geht, auf die Axiome beschränken. Das ist übersichtlich und man hat sofort eine passende Begründung: "Axiom XY is verletzt."
>
> zu b)
> jetzt komm ich mir dumm vor...ich dachte die
> multiplikation mit t wäre schon das skalar :/
> oder heisst skalarmultiplikation, wenn ich das ganze
> polynom mit einem skalar multipliziere? also
> [mm]\lambda (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3)[/mm] ???
Genau das.
Gruß v. Angela
>
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>
>
> vielen dank noch einmal fuer deine mühen :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 So 16.11.2008 | | Autor: | mangaka |
> > zu a)
> > ähm war das aber richtig mit dem skalar?
>
> Hallo,
>
> daß [mm][\lambda[/mm] + [mm]\nu)v=\lambda[/mm] V + [mm]\nu[/mm] v verletzt ist, war
> richtig, und ich habe gesagt, daß Du das ganz konkret
> vorrechnen sollst.
ich hab auch net behauptet, dass ich es nicht tue :D
hatte das schon gemacht, bevor du es mir gesagt hast :P
dann hat sich dieses thema hier erledigt!
mfg
mangaka
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