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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 14.07.2011 | | Autor: | Secoh |
| Aufgabe | a)
Es seien V bzw. W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume, [mm] \delta \in [/mm] Hom(V;W) und [mm] \delta [/mm] *:W [mm] \to [/mm] V
zeige:
rang [mm] \delta [/mm] = rang [mm] \delta [/mm] *
b)
begründe(beweise) die folgenden Aussagen:
1. Genau dann ist [mm] \delta [/mm] * injektiv, wenn [mm] \delta [/mm] surjektiv ist.
2. Genau dann ist [mm] \delta [/mm] * surjektiv, wenn [mm] \delta [/mm] injektiv ist. |
Hallo
Ich komme bei der obigen Aufgabe nicht wirklich weit- muss dazu sagen, dass ich die letzte Woche komplett krank war, weshalb ich leider auch das Tutorium dazu verpasst habe, ich würde mich freuen wenn mir jemand tipps oder lösungsmöglichkeiten erklären würde. Bin über jegliche hilfe froh
danke schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> a)
> Es seien V bzw. W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume,
> [mm]\delta \in[/mm] Hom(V;W) und [mm]\delta[/mm] *:W [mm]\to[/mm] V
Das kann ja schon mal nicht stimmen ! Gemeint ist wohl die zu [mm] \delta [/mm] adjungierte Abbildung
[mm] $\delta^{\star}: W^{\star} \to V^{\star}$,
[/mm]
wobei [mm] V^{\star} [/mm] (bzw. [mm] W^{\star}) [/mm] derzu V (bzw. W) geh. algebraische Dualraum ist.
> zeige:
> rang [mm]\delta[/mm] = rang [mm]\delta[/mm] *
> b)
> begründe(beweise) die folgenden Aussagen:
> 1. Genau dann ist [mm] \delta[/mm] * injektiv, wenn [mm]\delta[/mm]
> surjektiv ist.
> 2. Genau dann ist [mm] \delta[/mm] * surjektiv, wenn [mm]\delta [/mm]
> injektiv ist.
> Hallo
> Ich komme bei der obigen Aufgabe nicht wirklich weit- muss
> dazu sagen, dass ich die letzte Woche komplett krank war,
> weshalb ich leider auch das Tutorium dazu verpasst habe,
> ich würde mich freuen wenn mir jemand tipps oder
> lösungsmöglichkeiten erklären würde. Bin über jegliche
> hilfe froh
[mm] \delta^{\star} [/mm] ist definiert durch
$ ( [mm] \delta^{\star} (\phi))(v)=\phi(\delta(v))$ [/mm] ( [mm] \phi \in W^{\star}, [/mm] v [mm] \in [/mm] V)
Jetzt vresuchs mal.
FRED
> danke schon mal im Vorraus.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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hey =)
ich muss auch diese aufgabe bearbeiten und hab auch keine wirkliche ahnung und keinen ansatz. und dein tipp hilft mir auch nicht wirklich weiter bzw den verstehe ich gar nicht. wie muss ich ihn anwenden?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 15.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> hey =)
>
> ich muss auch diese aufgabe bearbeiten und hab auch keine
> wirkliche ahnung
Nachlesen: was ist ein Dualraum ? Wie ist die adjungierte Abb. def. ?
> und keinen ansatz. und dein tipp hilft mir
> auch nicht wirklich weiter bzw den verstehe ich gar nicht.
Das war kein Tipp. Es war eine Wiederholung einiger Definitionen.
> wie muss ich ihn anwenden?
Ich mach Dir mal
$ [mm] \delta [/mm] $ * surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \delta [/mm] $ injektiv
vor:
Sei v [mm] \in [/mm] V und [mm] \delta(v)=0.
[/mm]
Wegen
$ ( [mm] \delta^{\star} (\phi))(v)=\phi(\delta(v)) [/mm] =0$ für jedes $ [mm] \phi \in W^{\star}, [/mm] $
folgt:
( [mm] \delta^{\star} (\phi))(v)=0 [/mm] für jedes $ [mm] \phi \in W^{\star}$
[/mm]
Da $ [mm] \delta [/mm] $ * surjektiv ist, haben wir:
[mm] $\varphi(v)=0$ [/mm] für jedes $ [mm] \varphi \in V^{\star}$
[/mm]
Fazit: v=0.
FRED
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