vektorraum der folgen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Sa 27.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | Def.: Menge [mm] K^M:=Abb(M,K) [/mm] aller Abb. g: [mm] M\to [/mm] K von M in einem Körper K ist Vektorraum mit + und *
[mm] M=\IN=K^{\IN} [/mm] ist Vektorraum d. Folgen über K
[mm] a\in K^{\IN},also (a1,a2,a3,...):(a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_{n}\in [/mm] K |
Hi :)
Könntet ihr mir vielleicht ein Beispiel für so einen Vektorraum geben? Ich kann mir darunter gar nichts vorstellen.
Das mit dem Standardvektorraum versteh ich z.B., weil ich weiß, dass da nur die Standardvektoren wie [mm] \vektor{1 \\ 0\\0},\vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] drin sind, aber was ist der Vektorraum der Folgen ?
Gruß,
s-jojo
|
|
| |
|
> Def.: Menge [mm]K^M:=Abb(M,K)[/mm] aller Abb. g: [mm]M\to[/mm] K von M in
> einem Körper K ist Vektorraum mit + und *
Hallo,
es sehr wichtig, daß Dir die beiden Vernüpfungen + und [mm] \* [/mm] klar sind.
Definitionen angucken und nicht vergessen, Du wirst sie ständig brauchen.
>
> [mm]M=\IN=K^{\IN}[/mm] ist Vektorraum d. Folgen über K
> [mm]a\in K^{\IN},also (a1,a2,a3,...):(a_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]a_{n}\in[/mm] K
Nehmen wir [mm] K:=\IR.
[/mm]
Dann ist [mm] \IR^{\IN} [/mm] der Vektorraum der reellen Folgen, denn reelle Folgen sind ja Abbildungen aus den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen.
Damit hast Du ein Beispiel.
Die Verwandschaft zu den wohlbekannten Vektorräumen [mm] \IR^n [/mm] wird Dir klar,
wenn Du die Folgen als unendliche Tupel schreibst, z.B. [mm] c:=(c_n):=( [/mm] 3,5,1,6,0,0,7,4711, 14,2,5,7,...).
(Dies ist ein völlig willkürliches Beispiel für irgendeine Folge. Du mußt nicht drüber grübeln, wie sie weitergeht.)
Über die Addition von Folgen und die Multiplikation mit reellen Zahlen hast Du in der Analysis was gelernt:
[mm] (a_n)+(b_n)=(a_n+b_n) [/mm] , in Worten: zwei Folgen werden elementweise addiert,
[mm] r*(a_n):=(ra_n), [/mm] Folgen werden elementweise mit reellen zahlen multipliziert,
und Du könntest nun überprüfen, ob dies zu den (oben nicht angegebenen) Definitionen von + und * im Vektorraum der Abbildungen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR [/mm] paßt.
Bedenke, daß [mm] a:=(a_1, a_2, a_3, [/mm] ...) steht für a:=(a(1), a(2), a(3),...).
Es ist dies eine spezielle Art, die Abbildung a anzugeben, welche so aufzählend natürlich bei Funktionen, deren Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] ist, nicht klappen kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
