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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 22.10.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe gerade mit Stochastik angefangen...
Bei folgender Frage meine ich zwar die Antwort zu wissen, aber mir fehlt noch der Beweis dazu, wo ich aber einfach nicht weiterkomme...
Bezeichne mit R die Menge aller achsenparallelen Rechtecke im [mm] \IR^{2}, [/mm] die zwei fest vorgegebene Punkte [mm] a,b\in\IR^{2} [/mm] enthalten. Bestimme mit Beweis [mm] \capR [/mm] und [mm] \cupR.
[/mm]
Meiner Meinung nach ist [mm] \capR= [/mm] die Strecke zwischen a und b.
Und [mm] \cupR=\IR^{2}, [/mm] aber wenn das so wäre mit der Vereinigung, dann würden doch auch alle Rechtecke, die nicht achsenparallel sind mit eingeschlossen, oder? Beim Schnitt bin ich mir ziemlich sicher, allerdings fehlt mir noch zu beidem der Beweis... Ich abe mir das ganze einfach bildlich vorgestellt um das Ergebnis zu erhalten, aber ein Bild reicht ja auch nicht aus...HILFE
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Soll wahrsch. so aussehen:
> Bezeichne mit R die Menge aller achsenparallelen Rechtecke
> im [mm]\IR^{2},[/mm] die zwei fest vorgegebene Punkte [mm]a,b\in\IR^{2}[/mm]
> enthalten. Bestimme mit Beweis [mm]\cap R[/mm] und [mm]\cup R.[/mm]
>
> Meiner Meinung nach ist [mm]\cap R=[/mm] die Strecke zwischen a und
> b.
> Und [mm]\cup R=\IR^{2},[/mm] aber wenn das so wäre mit der
> Vereinigung, dann würden doch auch alle Rechtecke, die
> nicht achsenparallel sind mit eingeschlossen, oder? Beim
> Schnitt bin ich mir ziemlich sicher, allerdings fehlt mir
> noch zu beidem der Beweis... Ich abe mir das ganze einfach
> bildlich vorgestellt um das Ergebnis zu erhalten, aber ein
> Bild reicht ja auch nicht aus...HILFE
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Hallo Bobby!
a) [mm] \cap R [/mm] müsste meiner Meinung nach das Rechteck mit den Punkten a,b als Eckpunkten sein (R(a,b)). Das ist aber nur dann eine Gerade, wenn a,b die gleichen x- oder y-Koordinaten haben! (nochmal aufzeichnen, die Rechtecke dürfen ja nur achsenparallel sein.)
Beweisskizze: - nimm ein [mm]\in R(a,b)[/mm] und zeige, dass es dann im Schnitt liegen muss. - anschließend ein [mm]x \in \IR^2 \setminus R(a,b)[/mm] und zeige, dass es ein Rechteck mit a,b gibt, dass nicht x enthält.
(Hier hilft sicher wieder eine Skizze!)
b) Bin ebenfalls für [mm]\cup R = \IR^2[/mm]. Beweis: Die Richtung [mm] \subset [/mm] ist klar. Für [mm]\supset [/mm] : Sei [mm]x=(x_1,x_2) \in \IR^2[/mm]. Wähle nun das achsenparallele Rechteck [mm]R_x:= \{ (x,y) \in \IR^2 \mid |x| \leq \max\{x_1,a_1,b_1\} \wedge |y| \leq \max\{x_2,a_2,b_2\} \}[/mm] Dann sind [mm]a,b,x \in R_x[/mm].
mfg
Daniel
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