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Hallo zusammen!
Es gibt doch die Regel äußeres Integral durch innere Ableitung, sofern die innere Funktion linear ist.
z.B. wenn ich cos (5x) integriere ist das Ergebnis sin (5x)/5
Die äußere Funktion ist cos und die innere Funktion ist 5x.
Was aber wenn ich 1/5x integrieren möchte. Ich weiß ich kann auch einfach schreiben 1/5 * 1/x aber wenn ich jetzt den komplizierten Weg gehe könnte ich sagen, dass es sich um eine verkettete Funktion handelt.
Der Exponent -1 ist die äußere Funktion und 5x ist die innere Funktion. D.h. hier müsste das Ergebnis ln (5x)/5 sein, aber das stimmt nicht.
Aber warum nicht? Theoretisch müsste es nach dieser Regel richtig sein, oder?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> D.h. hier müsste das Ergebnis ln (5x)/5 sein
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber das stimmt nicht.
Wie kommst du darauf? Natürlich stimmt es.
(Die Frage ist provokant gemeint, damit du mal drüber nachdenkst)
Gruß,
Gono
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Danke für deine rasche Antwort! 
Wenn ich die Aufgabenumstellung umschreibe zu 1/5 * 1/x und integriere komme ich auf das Ergebnis 1/5*ln x. 1/5 bleibt als konstanter Faktor erhalten und 1/x gibt integriert eben ln x.
Das soll auch laut Integralrechner im Internet das richtige Ergebnis sein.
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Hiho,
> Wenn ich die Aufgabenumstellung umschreibe zu 1/5 * 1/x und
> integriere komme ich auf das Ergebnis 1/5*ln x
Fast!
Schon mal was von Integrationskonstante gehört?
Gruß,
Gono
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Du meinst sowohl ln (5x)/5 und ln (x)/5 ist richtig, denn ich schreibe ja noch + C als Integrationskontante dazu? Ich dachte es gibt nur ein richtiges Ergebnis, unabhängig von der Integrationskonstante.
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Hiho,
> Du meinst sowohl ln (5x)/5 und ln (x)/5 ist richtig,
Sofern du bei beiden noch die Integrationskonstante hinzu schreibst.
> denn ich schreibe ja noch + C als Integrationskontante dazu? Ich dachte es gibt nur ein richtiges Ergebnis, unabhängig von der Integrationskonstante.
Autsch..... du solltest dringend Grundlagen nacharbeiten: Du suchst nicht die eine Stammfunktion, die gibt es nämlich nicht, sondern es gibt immer unendlich viele.
Machen wir doch mal ein Beispiel:
$f(x) = x$
Davon suchen wir nun die Stammfunktion und erhalten:
[mm] $F_C(x) [/mm] = [mm] \int [/mm] f(x) dx = [mm] \int [/mm] x dx = [mm] x^2 [/mm] + C$
Was heißt das nun?
Das eben alle Funktionen der obigen Form eine Stammfunktion sind, beispielsweise:
[mm] $F_1(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1$
[mm] $F_2(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2$
Aber auch:
[mm] $F_\pi(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \pi$
[/mm]
Insbesondere unterscheiden sich also alle Stammfunktionen nur um eine konstante reelle Zahl, d.h. es gilt immer:
[mm] $F_{c_1}(x) [/mm] - [mm] F_{c_2}(x) [/mm] = c$ für ein [mm] $c\in\IR$
[/mm]
Nun rechne mal nach, dass das auch für deine Lösungen gilt, d.h. berechne mal
[mm] $\bruch{\ln(x)}{5} [/mm] - [mm] \bruch{\ln(5x)}{5}$ [/mm]
Und du wirst sehen, auch diese unterscheiden sich nur durch eine relle Konstante.
Tipp: Logarithmusgesetze!
Gruß,
Gono
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