verktorraum und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Di 17.01.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\-3 \\ 4}
[/mm]
sind verktoren aus dem [mm] \IQ- [/mm] verktorraum [mm] \IQ^{4} [/mm] . ergänzen sie die vektoren zu einer Basis von [mm] \IQ^{4} [/mm] |
um auf die Basis von [mm] \IQ^{4} [/mm] zu kommen, brauche ich ja 4 linear unabhängige vektoren, die den ganzen vektorraum [mm] \IQ^{4} [/mm] aufspannen. 2 der linera unabhängigen vektoren sind ja schon gegeben, d.h. ich brauche noch 2 weiter vektoren die linear unabhängig sind. ich habe auch 2 weitere gefunden:
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\1}
[/mm]
kann ich diese 2 vektoren nehmen um [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] zu einer basis zu ergänzen oder müssen die 2 vektoren noch andere kriterien erfüllen, dass sie eine basis bilden?? woher weiß ich, dass die 2 gegebenen und meine 2 gefundenen vektoren den ganzen vektorraum aufspannen?? und gibt es vielleicht eine methode die richtigen vektoren zu finden?? ich habe nämlich einfach durch probieren 2 linear unabhängige vektoren gesucht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Di 17.01.2006 | | Autor: | trixi86 |
das mit der kanonischen basis habe ich jetzt verstanden, aber dass ich die 2 vektoren gewählt habe war echt purer zufall.deshalb hab ich noch eine weitere frage.und zwar:
die verktoren :
[mm] v_{1} =\vektor{1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1} v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\1\\0\\1\\0\\1\\0} v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\1\\0\\0\\1\\1\\0} [/mm] sind gegeben und müssen ebenfalls zu einer basis ergänzt werden allerdings im [mm] \IF_{2}^{8} [/mm] vektorraum. ich habe 5 weitere linear unabhängige vektoren dazu gefunden z.B.
[mm] v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0} v_{5} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0\\0\\0\\0\\0\\0} v_{5} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1\\0\\0\\0\\0\\0} [/mm] usw. kann ich diese vektoren auch benutzen um eine basis von [mm] \IF_{2}^{8} [/mm] zu finden oder muss ich die vektoren der kanonischen basis benutzen??
gruß trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Di 17.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Trixi!
Nein, du musst natürlich keine Vektoren der kanonischen Basis verwenden, nur ginge es damit (und dem Austauschlemma) deutlich schneller und eleganter.
Aber du kannst natürlich auch weiter fleißig raten und/oder Gauß anwenden... 
Liebe Grüße
Julius
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Austauschlemma (von Steinitz)