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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 04.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, ich frage mich gerade, ob man durch Verschieden Metriken auf die Gleiche Menge die intuitive vorstellung einiger Definitionen wie zB dem der Folge nicht verfälscht, weil dadurch zB die [mm] \varepsilon-Bälle [/mm] bzw. Umgebungen ganz andere Mengen darstellen oder vertue ich mich da jetzt.
Wäre nett, wenn da vielleicht jemand mal einen kommentar zu abgeben könnte.
Danke und Gruß.. Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Do 04.05.2006 | | Autor: | choosy |
jein, sicherlich gibt es metriken, in denen eine [mm] $\varepsilon$ [/mm] Kugel nicht direkt eine kugel ist
z.B. die diskrete metrik (0 falls x=y, 1 sonst...die kugel ist nur der punkt selbst)
oder im [mm] $\IR^2$ [/mm] die von der norm
[mm] $\|(x,y)\| [/mm] := max [mm] \{|x|,|y|\}$
[/mm]
induzierte metrik (die "kugel" ist ein quadrat)....
allerdings spielt die metrik ja in den definitionen ein grosse rolle,
es kann durchaus folgen in einer menge geben, die bezüglich einer metrik konvergieren, bezüglich einer anderen metrik aber nicht.
bzgl der diskreten metrik konvergieren in [mm] $\IR$ [/mm] z.B. nur die konstanten folgen (diese sind auch die einzigen cauchyfolgen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:44 Fr 05.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo danke, genau das war gemeint.
Man geht dann in den fällen, wo nicht weiteres gesagt wird immer von den Standardmetriken aus oder? in [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] ist das der normale abstand zwischen 2 pkt oder? im [mm] \IR^n [/mm] für [mm] n\ge3 [/mm] ist das dann die euklidische norm oder?
Gruß Ari
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Fr 05.05.2006 | | Autor: | choosy |
ja
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