"verschwindend klein" < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 04.03.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo zusammen,
oft wird der Begriff "verschwindend klein" oder "beliebig klein" in der Mathematik verwendet. Mich interessiert, was man damit genau meint. Natürlich ist es in erster Linie eine umgangssprachliche Formulierung, aber es steckt ja etwas dahinter.
Meine Überlegungen haben mich dazu geführt, dass es ein Synonym für "immer kleiner werdend" im Sinne des Prozesses des Unterlaufens jeder beliebigen gegebenen Schranke >0 sein muss.
Sehe ich das richtig?
Viele Grüße,
freimann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Fr 04.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
beliebig klein hast du richtig erklärt, oder der GW ist 0
"verschwindend" klein kenn ich eheer aus der anwendung, z.bsp wenn etwas sehr viel kleiner 1, dann ist das Quadrat davon verschwindend klein. man sagt es, wenn man einen term vernachlässigen will.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Fr 04.03.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo leduart,
danke für deine Antwort.
Ich habe "verschwindend klein" als äquivalent zu "beliebig klein" betrachtet.
Den Begriff "verwindend klein" kenn ich von stetigen Funktionen, da führen "verschwindend kleine Wackler im Argument nur zu verwindend kleinen Wacklern im Funktionswert".
Und hier eignet sich wieder die Erklärung mit dem "gegen Null gehend", was du als "beliebig klein" bezeichnet hast.
Viele Grüße,
freimann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Fr 04.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja hier heißt es wenn [mm] \delta [/mm] gegen 0 geht dann auch [mm] \epsilon
[/mm]
Aber Umgangssprache ist nie exakt definiert, deshalb gibts eben dann die präzisere ausdruck und das umgangssprachliche muss man entsprechend dem Zusammenhang interpretieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Fr 04.03.2011 | | Autor: | freimann |
Ja, stimmt. Damit ist meine Frage dann auch gut beantwortet.
Viele Grüße,
freimann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Mi 09.03.2011 | | Autor: | freimann |
Ich möchte hier noch eine Frage anhängen, die zwar nicht direkt etwas mit obiger Frage zu tun hat, die bei mir aber gleichzeitig entstanden ist.
Sie bezieht sich auf Stetigkeit im Allgemeinen:
Aus der Schule habe ich folgende Vorstellung von Stetigkeit mitgenommen: Eine Funktion ist stetig in [mm] x_{0}, [/mm] falls gilt: Bewege ich mich gedanklich immer näher und näher zu [mm] x_{0} [/mm] hin, so muss sich auch f(x) immer näher und näher an [mm] f(x_{0}) [/mm] hinbewegen.
So weit, so gut. An der Universität habe ich dann das epsilon-delta Kriterium als Definition für Stetigkeit gelernt. Das hat mir gut gefallen und es hat mir nie Schwierigkeiten bereitet, damit umzugehen, Beweise zu führen oder die Stetigkeit/Unstetigkeit konkreter Funktionen damit nachzuweisen.
Mich interessiert nun aber, wie man auf dieses epsilon-delta Kriterium gekommen ist. Hatte man sich zunächst unter Stetigkeit das vorgestellt, was ich in der Schule gelernt habe und dann das epsilon-delta Kriterium als exaktes, zur Vorstellung äquivalentes Konstrukt geschaffen?
Falls das so ist, dann habe ich mit diesem "zur Vorstellung äquivalent" ein Problem. Ich kann mir natürlich überlegen, dass beide irgendwie das Gleiche bezeichnen. Das befriedigt mich aber nicht, denn "irgendwie" reicht mir nicht. Falls ich es mir genauer überlegen will, entsteht immer das Problem, dass ich einen exakten Zusammenhang zwischen einer exakten math. Def. und einer nicht exakten Vorstellung herstellen will. Ich kann die Vorstellung nicht exakt machen, also kann ich auch nicht sagen, dass epsilon-delta dazu äquivalent ist.
Dazu muss ich sagen, dass ich generell viel viel lieber ohne irgendwelche Vorstellungen arbeite und damit bisher auch sehr gut gefahren bin.
So, ich hoffe, dass mir eure Antworten aus diesem Dielemma helfen und danke euch dafür schonmal im Voraus.
LG,
freimann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft Dir das:
Sei $f:D [mm] \subseteq \IR \to \IR$ [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] D.
Nach dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Krit. ist f stetig in [mm] x_0 [/mm] genau dann, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt mit:
x [mm] \in [/mm] D und [mm] |x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon.
[/mm]
Anschaulich besagt dies: f(x) liegt beliebig nahe bei [mm] f(x_0) [/mm] ( .... "für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] " ...), vorausgesetzt, dass x hinreichend nahe bei [mm] x_0 [/mm] liegt ( ... "esex. ein [mm] \delta>0 [/mm] ..."
Oder: "der Abstand [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] wird beliebig klein, falls der Abstand [mm] |x-x_0| [/mm] hinreichend klein ist"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mi 09.03.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo fred97 oder FRED,
> Vielleicht hilft Dir das:
>
> Sei [mm]f:D \subseteq \IR \to \IR[/mm] eine Funktion und [mm]x_0 \in[/mm] D.
>
> Nach dem [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] - Krit. ist f stetig in [mm]x_0[/mm]
> genau dann, wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm]
> gibt mit:
>
> x [mm]\in[/mm] D und [mm]|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon.[/mm]
>
> Anschaulich besagt dies: f(x) liegt beliebig nahe bei
> [mm]f(x_0)[/mm] ( .... "für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] " ...),
> vorausgesetzt, dass x hinreichend nahe bei [mm]x_0[/mm] liegt ( ...
> "esex. ein [mm]\delta>0[/mm] ..."
>
> Oder: "der Abstand [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] wird beliebig klein, falls
> der Abstand [mm]|x-x_0|[/mm] hinreichend klein ist"
>
>
> FRED
also das ist mir schon klar, denn das ist ja nur das, was dort steht.
Ich möchte es aber etwas anders ausdrücken, damit es noch anschaulicher wird und schließlich dann auf meine "Vorstellung aus der Schule" führt. Dabei entsteht aber ein Problem:
In der Regel ist es ja so, dass für kleiner werdendes [mm] \epsilon [/mm] auch das zugehörige [mm] \delta [/mm] kleiner wird (um [mm] x_{0} [/mm] konstante Funktionen lasse ich hier außen vor). Man kann natürlich zu einem [mm] \epsilon_{1}> \epsilon_{2} [/mm] das [mm] \delta_{1} [/mm] so wählen, dass [mm] \delta_{1}<\delta_{2} [/mm] ist, das schließt die Definition nicht aus, aber dann kann man in Wirklichkeit [mm] \delta_{1} [/mm] mindestens so groß wie [mm] \delta_{2} [/mm] wählen.
Damit kann ich sagen: Man kann f(x) immer näher und näher an [mm] f(x_{0}) [/mm] schieben ( [mm] \epsilon [/mm] wird kleiner und kleiner), wenn man x immer näher und näher an [mm] x_{0} [/mm] schiebt (das zugehörige [mm] \delta [/mm] wird auch immer kleiner und kleiner). Damit bin ich dann bei der Vorstellung aus der Schule: Wenn x gegen [mm] x_{0} [/mm] geht, dann geht f(x) gegen [mm] f(x_{0}).
[/mm]
Ich brauche also irgendwie diesen kursiv gedruckten Teil, dieser gefällt mir aber nicht, weil er ziemlich verwurstelt aussieht.
Ich glaube auch, dass du mir hier garnicht so viel erklären musst, FRED, sondern eher für Entwirrung sorgen musst, desshalb hab ich dir mal genau meinen Gedankengang aufgeschrieben.
LG
freimann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97 oder FRED,
>
> > Vielleicht hilft Dir das:
> >
> > Sei [mm]f:D \subseteq \IR \to \IR[/mm] eine Funktion und [mm]x_0 \in[/mm] D.
> >
> > Nach dem [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] - Krit. ist f stetig in [mm]x_0[/mm]
> > genau dann, wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm]
> > gibt mit:
> >
> > x [mm]\in[/mm] D und [mm]|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon.[/mm]
>
> >
> > Anschaulich besagt dies: f(x) liegt beliebig nahe bei
> > [mm]f(x_0)[/mm] ( .... "für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] " ...),
> > vorausgesetzt, dass x hinreichend nahe bei [mm]x_0[/mm] liegt ( ...
> > "esex. ein [mm]\delta>0[/mm] ..."
> >
> > Oder: "der Abstand [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] wird beliebig klein, falls
> > der Abstand [mm]|x-x_0|[/mm] hinreichend klein ist"
> >
> >
> > FRED
>
> also das ist mir schon klar, denn das ist ja nur das, was
> dort steht.
Das ist doch prima ! Dann ist Dir doch klar, warum man die [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Def. gerade so fasst. Da haben viele enorme Schwierigkeiten !
>
> Ich möchte es aber etwas anders ausdrücken, damit es noch
> anschaulicher wird und schließlich dann auf meine
> "Vorstellung aus der Schule" führt. Dabei entsteht aber
> ein Problem:
>
> In der Regel ist es ja so, dass für kleiner werdendes
> [mm]\epsilon[/mm] auch das zugehörige [mm]\delta[/mm] kleiner wird (um [mm]x_{0}[/mm]
> konstante Funktionen lasse ich hier außen vor). Man kann
> natürlich zu einem [mm]\epsilon_{1}> \epsilon_{2}[/mm] das
> [mm]\delta_{1}[/mm] so wählen, dass [mm]\delta_{1}<\delta_{2}[/mm] ist, das
> schließt die Definition nicht aus, aber dann kann man in
> Wirklichkeit [mm]\delta_{1}[/mm] mindestens so groß wie [mm]\delta_{2}[/mm]
> wählen.
Ja, wo ist jetzt das Problem ?
>
> Damit kann ich sagen: Man kann f(x) immer näher und näher
> an [mm]f(x_{0})[/mm] schieben ( [mm]\epsilon[/mm] wird kleiner und kleiner),
> wenn man x immer näher und näher an [mm]x_{0}[/mm] schiebt (das
> zugehörige [mm]\delta[/mm] wird auch immer kleiner und kleiner).
> Damit bin ich dann bei der Vorstellung aus der Schule: Wenn
> x gegen [mm]x_{0}[/mm] geht, dann geht f(x) gegen [mm]f(x_{0}).[/mm]
Richtig.
>
> Ich brauche also irgendwie diesen kursiv gedruckten Teil,
> dieser gefällt mir aber nicht, weil er ziemlich
> verwurstelt aussieht.
Tja, und nun ?
>
> Ich glaube auch, dass du mir hier garnicht so viel
> erklären musst, FRED, sondern eher für Entwirrung sorgen
> musst
.......... leider weiß ich nicht wie ...
FRED
> , desshalb hab ich dir mal genau meinen Gedankengang
> aufgeschrieben.
>
> LG
> freimann
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 09.03.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo FRED,
Mir scheint einfach, dass ich durch den kursiven Teil etwas in die Definition hineininterpretiere, das zwar richtig ist, aber nicht die Definition ihn ihrer Gesamtheit erfasst, denn dort heißt es ja nur "es gibt ein" und nicht "es gibt eins und es wird immer kleiner".
Verstehst Du jetzt, was ich meine?
LG
freimann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> Mir scheint einfach, dass ich durch den kursiven Teil etwas
> in die Definition hineininterpretiere, das zwar richtig
> ist, aber nicht die Definition ihn ihrer Gesamtheit
> erfasst, denn dort heißt es ja nur "es gibt ein" und nicht
> "es gibt eins und es wird immer kleiner".
"es gibt eins und es wird immer kleiner" wäre i.a. auch nicht richtig (konstante Funktionen hast Du ja schon genannt).
Andererseits: hast Du zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein passendes [mm] \delta [/mm] gefunden, so leistet jedes [mm] \delta_0< \delta [/mm] ebenfalls des Gewünschte.
FRED
>
> Verstehst Du jetzt, was ich meine?
>
> LG
> freimann
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> Ich möchte hier noch eine Frage anhängen, die zwar nicht
> direkt etwas mit obiger Frage zu tun hat, die bei mir aber
> gleichzeitig entstanden ist.
>
> Sie bezieht sich auf Stetigkeit im Allgemeinen:
> Aus der Schule habe ich folgende Vorstellung von
> Stetigkeit mitgenommen: Eine Funktion ist stetig in [mm]x_{0},[/mm]
> falls gilt: Bewege ich mich gedanklich immer näher und
> näher zu [mm]x_{0}[/mm] hin, so muss sich auch f(x) immer näher
> und näher an [mm]f(x_{0})[/mm] hinbewegen.
>
> So weit, so gut. An der Universität habe ich dann das
> epsilon-delta Kriterium als Definition für Stetigkeit
> gelernt. Das hat mir gut gefallen und es hat mir nie
> Schwierigkeiten bereitet, damit umzugehen, Beweise zu
> führen oder die Stetigkeit/Unstetigkeit konkreter
> Funktionen damit nachzuweisen.
>
> Mich interessiert nun aber, wie man auf dieses
> epsilon-delta Kriterium gekommen ist. Hatte man sich
> zunächst unter Stetigkeit das vorgestellt, was ich in der
> Schule gelernt habe und dann das epsilon-delta Kriterium
> als exaktes, zur Vorstellung äquivalentes Konstrukt
> geschaffen?
>
> Falls das so ist, dann habe ich mit diesem "zur Vorstellung
> äquivalent" ein Problem. Ich kann mir natürlich
> überlegen, dass beide irgendwie das Gleiche bezeichnen.
> Das befriedigt mich aber nicht, denn "irgendwie" reicht mir
> nicht. Falls ich es mir genauer überlegen will, entsteht
> immer das Problem, dass ich einen exakten Zusammenhang
> zwischen einer exakten math. Def. und einer nicht exakten
> Vorstellung herstellen will. Ich kann die Vorstellung nicht
> exakt machen, also kann ich auch nicht sagen, dass
> epsilon-delta dazu äquivalent ist.
>
> Dazu muss ich sagen, dass ich generell viel viel lieber
> ohne irgendwelche Vorstellungen arbeite
Das willst du uns aber nicht im Ernst weismachen, oder ?
Möglicherweise bist du dir deiner Vorstellungen nur
nicht immer so bewusst.
> und damit bisher auch sehr gut gefahren bin.
>
> So, ich hoffe, dass mir eure Antworten aus diesem Dielemma
> helfen und danke euch dafür schonmal im Voraus.
>
> LG,
> freimann
Hallo freimann,
nur eine Bemerkung zu deiner Vorstellung von Stetigkeit
aus der Schule:
Eine Funktion ist stetig in [mm]\blue{x_{0}},[/mm]
falls gilt: Bewege ich mich gedanklich immer näher und
näher zu [mm]\blue{x_{0}}[/mm] hin, so muss sich auch f(x) immer näher
und näher an [mm]\blue{f(x_{0})}[/mm] hinbewegen.
Mach dir nur klar, dass du, wenn du dich zum Beispiel
von Norden her kommend, immer näher an eine bestimmte
Stelle z.B. in Berlin bewegst, dabei auch dem Petersdom
in Rom "immer näher" kommst.
Das ist aber nicht das, was mit dem "immer näher zu
einer Stelle hin bewegen" im Zusammenhang mit der
Stetigkeit gemeint war. Und genau darum ist eine
Präzisierung der Definition in der Art der
Epsilon-Delta Definition notwendig. Die Definition
soll nicht nur das "immer näher" enthalten, sondern
vor allem das "beliebig nahe".
Die Formulierung mit dem "immer näher" ist insofern
sogar falsch, dass z.B. eine Nullfolge, die aus lauter
positiven Gliedern besteht, keineswegs monoton
fallend sein muss. Es kann durchaus sein, dass sich
die Glieder mit wachsendem Index auch wieder mal
vom Grenzwert Null entfernen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mi 09.03.2011 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Dazu muss ich sagen, dass ich generell viel viel lieber
> > ohne irgendwelche Vorstellungen arbeite
>
> Das willst du uns aber nicht im Ernst weismachen, oder ?
> Möglicherweise bist du dir deiner Vorstellungen nur
> nicht immer so bewusst.
Warum sollte das nicht sein Ernst sein? Ich kann das sehr gut nachvollziehen.
Natürlich habe ich, geht es um Stetigkeit, eine Vorstellung davon was Sache ist. Doch im Allgmeinen lehne ich schwammige Vorstellungen von gewissen Konstrukten oder Vorgängen, die mich möglicherweise zu Fehlschlüssen leiten, ab.
Im Laufe der Zeit entwickeln sich in vielen Dingen ohnehin gewisse Vorstellungen und Ideen von selbst. Aber zu Beginn sind sie nicht immer eine Hilfe.
Viele Grüße,
ChopSuey
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