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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Do 24.09.2009 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | Aufgabe 2 10 Punkte.
Man begründe für die folgenden Anfangswertaufgaben ob lokale
Existenz und Eindeutigkeit vorliegt. Falls ja, dann bestimme man die Lösung und gebe das maximale Existenzintervall an.
2.a)
[mm] y_{(t)}'=e^{y_{(t)}} [/mm] ; [mm] y_{(0)} [/mm] = 1
2.b)
[mm] y_{(t)}' [/mm] = [mm] y_{(t)}^{\bruch{-1}{2}}(e^{y_{(t)}}-1), y_{(0)}=0
[/mm]
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So ich bin mal wieder hier und wie man am Datum sehen kann geht es da wohl auf eine nachklausur zu wo ich, vom anderen Ufer leider durch muss. Also daher hier nun meine Fragen:
1.
Man sollte hie in der Aufgabe auf ein paar begriffe hin begründen die ich auch zuvor noch nicht gesehen hatte.
Nun musste ich aber festellen das mir die Wikipedia nicht weiter helfen kann, bin wohl nicht weit genug.
Daher ist mir zumindest Existenz und Eindeutigkeit nicht ganz klar. Bis zur maximalen Existenzintervall kamm ich schon garnicht.
Wenn ich TDV (Trennung der Variablen) kamm ich auch nicht so wirklich weiter bei der 2.a) irgend wie kommen wir da durch einander mit dem Log...
Wir haben versucht:
[mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] = [mm] e^{y}
[/mm]
dt = [mm] \bruch{e^y}{dy}
[/mm]
[mm] dt=\bruch{1}{dy}e^{y} |\int [/mm] angewendet
x+c = [mm] e^y+c
[/mm]
[mm] \log((x+c) [/mm] = [mm] y+\log(c)-log(c)
[/mm]
[mm] \log(x+c)-log(c)=y
[/mm]
scheint aber so nicht ganz richtig zu sein....
Hilfe...danke!
michime
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Do 24.09.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich kann dir leider nur den Lösungsweg sagen, da ich vom Rest keine Ahnung habe.
Dividiere die Gleichung durch [mm] e^y [/mm] (problemlos möglich, da [mm] e^x>0 [/mm] für alle x [mm] \in \IR).
[/mm]
Dann integrierst du beide Seiten (z=y(t) setzen)).
Allerdings solltest du nicht 2 mal c als additive Konstante verwenden, sondern eher z.B. a oder b. Oder du schreibst direkt nur auf einer Seite +c hin.
Wie auch immer, den Rest schaffst du dann sicher, zumindest von der Berechnung her.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:59 Fr 25.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie integrierst du mit dy im Nenner?
richtig ist [mm] e^{-y}=dt
[/mm]
jetzt integrieren und das eine c bestimmen.
Du solltest eigentlich den Satz von Picard-Lindelöf kennen sonst sieh ihn nach, dann findest du was du suchst.
Gruss leduart
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