verzwicktes Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Sa 04.12.2004 | | Autor: | ois |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgendem Integral:
[mm]\integral \wurzel{\bruch{8r-3x}{(2r-x)^3}}\, dx\quad bzw.\quad \integral(8r-3x)^{\bruch{1}{2}}*(2r-x)^{-\,\bruch{3}{2}}\, dx[/mm]
Es ist irgendwie ziemlich verzwickt. Ich hab wirklich schon viel versucht, habe dabei aber nur einmal eine Lösung gefunden und die ist falsch. Dass sie falsch ist weiß ich, da bei Einsetzung von 0 in die Lösung des Integrals 0 rauskommen müsste, bei Einsetzung von "unendlich", "unendlich" rauskommen müsste (Das ergibt sich aus der Aufgabenstellung - die zu umfänglich ist, um sie hier anzugeben). Findet jemand einen Fehler in meiner Rechnung oder hat jemand eine Idee, wie man vielleicht anders an die Sache rangeht?
Hier ist meine Rechnung - bitte nicht erschrecken, es sieht deshalb so viel aus, weil ich jeden Schritt ausgeschrieben habe, damit es besser nachzuvollziehen ist:
Zuerst hab ich die partielle Integration gemacht (um die Exponenten gleichzumachen). Es ergibt sich
[mm](8r-3x)^{\bruch{1}{2}}*2\,(2r-x)^{-\,\bruch{1}{2}}\,-\,\integral-\,\bruch{3}{2}\,(8r-3x)^{-\,\bruch{1}{2}}*2\,(2r-x)^{-\,\bruch{1}{2}}\, dx\,=[/mm]
[mm]=\;2\wurzel{\bruch{8r-3x}{2r-x}}\;+\;3\integral\left[(8r-3x)*(2r-x)\right]^{-\,\bruch{1}{2}}\, dx[/mm]
Den ersten Teil dieser Summe lasse ich ab jetzt weg, der ist ja schon "fertig". Ich gehe nun an den zweiten. Der lässt sich auch so schreiben:
[mm]3\integral\bruch{dx}{\wurzel{(8r-3x)\,(2r-x)}}[/mm]
Jetzt gleiche ich die Klammern unter der Wurzel einander etwas an (um danach gut substituieren zu können), indem ich den Bruch erweitere.
[mm]3\integral\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{(8r-3x)\,(2r-x)*3}}\;dx\;=\;3\,\wurzel{3}\,\integral\bruch{dx}{\wurzel{(8r-3x)\,(6r-3x)}}\;=[/mm]
[mm]=\;3\,\wurzel{3}\,\integral\bruch{dx}{\wurzel\,{\left[2r+(6r-3x)\right]\,(6r-3x)}}[/mm]
Jetzt wird substituiert mit
[mm]t\,=\,6r-3x\quad \Rightarrow\;x\,=\,-\,\bruch{1}{3}+2r\quad \Rightarrow\;dx\,=\,-\,\bruch{1}{3}\,dt[/mm]
[mm]\Rightarrow\;3 \wurzel{3}\integral\bruch{1}{\wurzel{(2r+t)\,t}}*-\, \bruch{1}{3}dt\;=\;-\wurzel{3}\integral\bruch{dt}{\wurzel{2rt+t^2}}\;=\;-\wurzel{3}\integral\bruch{dt}{\wurzel{(r+t)^2-r^2}}[/mm]
Jetzt erneut eine Substitution, diesmal eine ganz einfache mit
[mm]u\,=\,r+t\quad \Rightarrow\;t\,=\,u-r\quad \Rightarrow\;dt\,=\,du[/mm]
[mm]\Rightarrow\;-\wurzel{3}\integral\bruch{du}{u^2-r^2}[/mm]
Dieses Integral nun kann man in Formelsammlungen nachschlagen, es ist
[mm]-\wurzel{3}\,\ln\left(u+\wurzel{u^2-r^2}\right)[/mm]
Jetzt noch zwei mal resubstituiert:
[mm]-\wurzel{3}\,\ln\left(r+t+\wurzel{2rt+t^2}\right)[/mm]
[mm]-\wurzel{3}\,\ln\left(r+6r-3x+\wurzel{2r\,(6r-3x)+(6r-3x)^2}\right)\;=\;-\wurzel{3}\,\ln\left(7r-3x+\wurzel{48r^2-42rx+9x^2}\right)[/mm]
Das vollständige Ergebnis des gesamten Integrals ist damit
[mm]2\wurzel{\bruch{8r-3x}{2r-x}}\,-\,\wurzel{3}\,\ln\left(7r-3x+\wurzel{48r^2-42rx+9x^2}\right)[/mm]
Danke im voraus für Eure Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ois,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
Also mal ganz zu Anfang. Du hast völlig recht:
DAS ist wirklich ein vezwicktes Integral  !!!
Ich habe in meiner Durchsicht keinen Fehler entdecken können (bis auf folgende nicht folgeschweren Tippfehler).
Vielleicht bleibt Dir doch nichts anderes übrig, als die Probe zu machen; sprich die ermittelte Funktion abzuleiten. Dann müsste ja wieder Deine Ursprungsfunktion entstehen.
> Jetzt wird substituiert mit
> [mm]t\,=\,6r-3x\quad \Rightarrow\;x\,=\,-\,\bruch{1}{3}+2r\quad \Rightarrow\;dx\,=\,-\,\bruch{1}{3}\,dt[/mm]
Hier muß es heißen (im mittleren Ausdruck hast du das t unterschlagen):
[mm]t\,=\,6r-3x\quad \Rightarrow\;x\,=\,-\,\bruch{1}{3}*t+2r\quad \Rightarrow\;dx\,=\,-\,\bruch{1}{3}\,dt[/mm]
> [mm]\Rightarrow\;-\wurzel{3}\integral\bruch{du}{u^2-r^2}[/mm]
Hier hast Du doch glatt die Wurzel im Nenner vergessen.
[mm]\Rightarrow\;-\wurzel{3}\integral\bruch{du}{\wurzel{u^2-r^2}}[/mm]
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 05.12.2004 | | Autor: | ois |
Hallo
Danke erst mal, Loddar, für deine Hinweise. Hab mich da echt vertippt. Nun zur Probe: Die hab ich versucht, das Problem dabei ist nur, dass die fast genauso verzwickt ist, wie das Integral selbst!
Der erste Teil der Ableitung sieht eigentlich noch ganz gut aus:
[mm]2r\wurzel{\bruch{8r-3x}{(2r-x)^3}}[/mm]
Dementsprechend müsste der zweite Teil (der ja von ersten subtrahiert wird) etwa so aussehen
[mm](-1+2r)\wurzel{\bruch{8r-3x}{(2r-x)^3}}[/mm]
damit insgesamt die Originalfkt. [mm]\wurzel{\bruch{8r-3x}{(2r-x)^3}}[/mm] rauskommt.
Wenn man
[mm]\wurzel{3}\,ln\left(7r-3x+\wurzel{48r^2-42rx+9x^2}\right)[/mm]
ableitet, kommt aber so ein scheußlicher Monsterausdruck raus
[mm]\bruch{-3+54\,(7r+3x)}{(7r-3x)\left(\wurzel{48r^2-42rx+9x^2}\right)\,+\,48r^2-42rx+9x^2}[/mm]
Den kann man entweder nicht weiter vereinfachen oder ich bin ganz einfach zu blöd dazu. Also jedenfalls sieht das nicht so aus wie es sollte.
Eine andere Möglichkeit hab ich aber kaum, oder?
Gruß ois
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> Nun zur Probe: Die hab ich versucht, das
> Problem dabei ist nur, dass die fast genauso verzwickt ist,
> wie das Integral selbst!
Oh yeah !!
> Der erste Teil der Ableitung sieht eigentlich noch ganz
> gut aus:
> [mm]2r\wurzel{\bruch{8r-3x}{(2r-x)^3}}[/mm]
Und hier erhalte ich bereits ein anderes Ergebnis :-(
Ich habe es mit Ketten- sowie Quotientenregel probiert:
[mm]2 * \wurzel{\bruch{8r-3x}{2r-x}}[/mm]
mit
u = 8r - 3x
u' = -3
v = 2r - x
v' = -1
Teillösung für Bruch unter Wurzel (innere Ableitung):
[mm] $(\bruch{8r-3x}{2r-x})'$
[/mm]
$= [mm] \bruch{(-3)(2r-x) - (8r-3x)(-1)}{(2r-x)^2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{-6r + 3x + 8r - 3x}{(2r-x)^2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{2r}{(2r-x)^2}$
[/mm]
wird
[mm](2 * \wurzel{\bruch{8r-3x}{2r-x}})'[/mm]
$= 2 * [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{8r-3x}{2r-x}}} [/mm] * [mm] \bruch{2r}{(2r-x)^2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{\wurzel{2r-x} * 2r}{\wurzel{8r-3x} * \wurzel{(2r-x)^4}}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{2r}{\wurzel{(8r-3x) * (2r-x)^3}}$
[/mm]
*Grübel*
> Wenn man
> [mm]\wurzel{3}\,ln\left(7r-3x+\wurzel{48r^2-42rx+9x^2}\right)[/mm]
> ableitet, kommt aber so ein scheußlicher Monsterausdruck
> raus
>
> [mm]\bruch{-3+54\,(7r+3x)}{(7r-3x)\left(\wurzel{48r^2-42rx+9x^2}\right)\,+\,48r^2-42rx+9x^2}[/mm]
Also, ich habe mich auch an diesem "Monster" versucht, aber bei mir wurde das noch verworrener (ja das geht wirklich ).
Wir sollten uns erst mal über den 1. Term einig werden ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 So 05.12.2004 | | Autor: | ois |
Hallo Loddar
Klar, du hast beim ersten Term natürlich recht. Hab jetzt nochmal nachgeschaut wie ich das gerechnet hab und dabei entdeckt, dass ich auf meinem Schmierzettel eigentlich das gleiche rausgebracht hab. Bei der Übertragung ins Internet hab ich dann allerdings beim Exponenten von
[mm](8r-3x)^{-\,\bruch{1}{2}}[/mm] glatt das minus übersehen und deshalb kam dann in meinem Beitrag etwas anderes raus.
Danke für die Berichtigung!
Aber nun dieser verflixte zweite Term. Der versaut uns die ganze Probe.
Die scheidet damit als Mittel zur Überprüfung wohl leider aus.
Schade eigentlich, wär echt schön gewesen, wenn ga was gescheites rausgekommen wär! Die ganze Geschichte ist halt einfach zu verzwickt
Gruß ois
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Loddar |
N'Abend ois!
Na, wenigstens sind wir uns über "The Integral - Part I" einig.
Über "The Integral Strikes back", sprich: den 2. Term werd' ich mir morgen vormittag noch mal 'nen Kopf machen ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo ois,
es ist vollbracht: ich habe es tatsächlich geschafft, Deine ermittelte Stammfunktion F(x) abzuleiten und es kommt tatsächlich Deine ursprüngliche Funktion f(x) heraus!!
Für [mm] $48r^2 [/mm] + 42rx + [mm] 9x^2$ [/mm] (Ausdruck unter Wurzel) kann ich auch schreiben:
$(7r - [mm] 3x)^2 [/mm] - [mm] r^2$
[/mm]
Mit der Substitution $z := 7r - 3x$ und $z' = -3$ ergibt sich für den 2 . Term:
$g(z) = - [mm] \wurzel{3} [/mm] * ln (z + [mm] \wurzel{z^2 - r^2})$
[/mm]
Nun ableiten:
$g'(z) = - [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{z + \wurzel{z^2 - r^2}} [/mm] * (1 + [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{z^2 - r^2}} [/mm] * 2z ) * z'$
Kürzen + Klammer zusammenfassen:
$g'(z) = - [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{z + \wurzel{z^2 - r^2}} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{z^2 - r^2} + z}{\wurzel{z^2 - r^2}} [/mm] * (-3)$
Kürzen:
$g'(z) = 3 [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{z^2 - r^2}}$
[/mm]
Substitution rückwärts:
$g'(x) = 3 [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{48r^2 + 42rx + 9x^2}}$
[/mm]
Wurzelausdruck faktorisieren:
$g'(x) = 3 [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{3 * (2r - x) * (8r - 3x)}}$
[/mm]
Kürzen:
$g'(x) = [mm] \bruch{3}{\wurzel{(2r - x)(8r - 3x)}}$
[/mm]
Mit unserer Lösung aus dem 1. Term (s.o.) ergibt sich nun:
$F'(x) = [mm] \bruch{2r}{\wurzel{(8r - 3x)(2r - x)^3}} [/mm] + [mm] \bruch{3}{\wurzel{(2r - x)(8r - 3x)}}$
[/mm]
Gleichnamig machen:
$F'(x) = [mm] \bruch{2r + 3(2r - x)}{\wurzel{(8r - 3x)(2r - x)^3}}$
[/mm]
$F'(x) = [mm] \bruch{8r - 3x}{\wurzel{(8r - 3x)(2r - x)^3}}$
[/mm]
Erweitern mit [mm] $\wurzel{(8r - 3x)}$:
[/mm]
$F'(x) = [mm] \bruch{(8r - 3x) * \wurzel{8r - 3x}}{(8r - 3x) * \wurzel{(2r - x)^3}}$
[/mm]
Kürzen + fertig:
$F'(x) = [mm] \wurzel{\bruch{8r - 3x}{(2r - x)^3}} [/mm] = f(x)$ *puuuuuuuuh!*
Also scheint diese Stammfunktion wirklich zu stimmen!!!
Du hast ganz am Anfang gepostet, daß diese Lösung falsch sein muß wegen irgendwelcher Randbedingungen.
F(0) = 0 sowie [mm] $F(\infty) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Hast Du hier einfach diese beiden Werte eingesetzt?
Meines Erachtens mußt Du ja für Deine Integralfunktion eine untere und eine obere Grenze einsetzen. Klappt es damit vielleicht?
Viele Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mo 06.12.2004 | | Autor: | ois |
Danke Loddar!
Da hast Du Dir ja einen ganzen Haufen Arbeit gemacht - und mir dabei echt weitergeholfen. Das Integral stimmt also.
Auf die Idee, dass es falsch ist, bin ich wegen der Aufgabenstellung gekommen. Ich schreib sie jetzt doch mal ganz:
Es geht um die Bestimmung der Bogenlänge folgender Funktion von 0 bis r:
[mm]f(x)=\wurzel{\bruch{x^3}{2r-x}}[/mm] wobei[mm]0\le\,x<\,2r[/mm] und r>0
Allgemein gilt für die Bogenlänge einer Funktion zwischen a und b:
[mm]L=\integral_{a}^{b}\wurzel{1+[f'(x)]^2}\, dx[/mm]
In meinem speziellen Fall wäre das wegen
[mm]f'(x)\,=\,\wurzel{\bruch{x\,(3r-x)^2}{(2r-x)^3}}[/mm]
[mm]L\,=\,\integral_{0}^{r}\wurzel{1+\bruch{x\,(3r-x)^2}{(2r-x)^3}}\, dx[/mm]
Das kann man nun vereinfachen
[mm]\integral_{0}^{r}\wurzel{\bruch{(2r-x)^3+x\,(3r-x)^2}{(2r-x)^3}}\, dx\;=[/mm]
[mm]=\;\integral_{0}^{r}\wurzel{\bruch{8r^3-12r^2x+6rx-x^3+9r^2x-6rx^2+x^3}{(2r-x)^3}}\, dx\;=[/mm]
[mm]=\;\integral_{0}^{r}\wurzel{\bruch{8r^3-3r^2x}{(2r-x)^3}}\, dx\;=\;r\integral_{0}^{r}\wurzel{\bruch{8r-3x}{(2r-x)^3}}\, dx\[/mm]
Bis hierher war mir eigentlich alles klar, nur das Integral setzte mir zu.
Mit der dessen Lösung lautet das Ergebnis der Aufgabe:
[mm]L\,=\,\left[2r\wurzel{\bruch{8r-3x}{(2r-x)}}\,-\,r\wurzel{3}\ln\left(7r-3x+ \wurzel{48r^2-42rx+9x^2}\right)\right]_{0}^r[/mm]
(Ich hoffe, Du verzeihst es mir, dass ich das alles nicht gleich geschrieben hab, der Artikel wäre sonst einfach zu lang -und abschreckend - geworden).
Ich hab dann, als ich die Länge ausgerechnet hab zum Entsetzen festgestellt, dass bei Einsetzung von 0 ein Wert ungleich 0 rauskam( bei r=1 wars -0,56207...), was wenn man sich die Kurve anschaut nicht so ganz sein kann! Sie geht nämlich bei x=0 überhaupt erst los und nähert sich dann für x -> 2r unendlich (hat also bei 2r eine sekrechte Asymptote).
Drum müsste doch eigentlich bei Einsetzung von 0 auch 0 rauskommen, bei Einsetzung von 2r unendlich (wenigstens das ist der Fall). Da dacht ich mir eben der Fehler liegt wahrscheinlich im Integral. Dem ist ja nun "bewiesenermaßen" nicht so.
... ich glaub ich klemm mich am besten nochmal ganz intensiv hinter die Aufgabenstellung...
Gruß ois
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Ich hab meinen Rechenweg, der ganz ähnlich zu deinem ist, einfach mal eingescannt. Ich hab bei meiner Rechnung aber auf Substitutionen verzichtet, und "einfach so" mal gerechnet.
Außerdem hab ich ganz am Anfang unter der Wurzel beide Differenzen umgedreht. Das geht, da beide Terme ungerade sind (-> jeweils ein Minus ausklammern, rauskürzen).
Kann es sein, dass du gleich am Anfang bei der ersten partiellen Integration ein Minus vergessen hast? Bei der Integration müsste bei dem Teil, den du ableitest, ein Minus dazukommen (bei dem Teil, den du integrierst, gibt's 2 Minus, die sich aufheben).
Ansonsten kannst ja mal schauen, ob du mit meiner Lösung was anfangen kannst:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hab das auch mal von Maple integrieren lassen; da kommt ein dreizeiliger Ausdruck bei raus.
Weil's so schön ist
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 So 05.12.2004 | | Autor: | ois |
Hallo
Danke erstmal e.kandrai, dass du dir so viel Arbeit gemacht hast.
Also dass da bei mir in meiner partiellen Integration beim abgeleiteten Ausdruck ein Minus fehlen soll, kann ich nicht erkennen. Ich habs jetzt nochmal überprüft aber kein fehlendes minus entdecken können.
Dann noch was anderes. Wenn man in deine Lösung x=0 einsetzt, ist der ln-Ausdruck nicht mehr definiert, da er negativ wird! Ich hab zwar bei dir auch keinen Fehler gefunden, aber das mit dem ln kann irgendwie nicht sein. Null ist nämlich in der Def.Menge enthalten.
Sorry, dass ich bei meiner Frage vergessen habe die Def.Menge anzugeben. Die Funktion ist definiert für [mm]0\le\,x\,<2r[/mm]
Außerdem ist [mm]r\in\IR^{+}[/mm]
Die Null macht in deiner Variante also Probleme, deshalb glaub ich fast, dass auch bei dir irgendwo was faul ist. Nur was?
Habs übrigen fast geschafft, deine Lösung in meine umzuwandeln. Hab mich aber mit etlichen Vorzeichen in die Haare gekriegt!
Gruß ois
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 06.12.2004 | | Autor: | ois |
Hallo
Es ist nicht mehr nötig, da jetzt rumzufießeln, da Loddar durch Probe bewiesen hat, dass meine Rechnung gestimmt hat (siehe Diskussionsstrang). Ich weiß jetzt dummerweise nur nicht, wie den Fragestatus meiner inzwischen irrrelevanten Frage aufhebe!
Gruß ois
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
