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| Aufgabe | | Es soll bewiesen werden, dass für den Fall, dass eine Zahl der Dreiecksfolge gleich einer Quadratzahl ist, zu der Gleichung 1=x²-8y² hingeführt werden kann. |
Die Formel ide es herzuleiten gilt lautet:
[mm] x^{2}=8y^{2}+1
[/mm]
Es geht nur um ganzzahlige Lösungen.
Mit einem Programm habe ich Lösungsmöglichkeiten für (x,y) ermittelt, um eine Basis zu haben.
(1,0), (3,1), (17,6), (99,35), (577,204), (3363,1189)
Die Dreieckszahlen folgen diese Funktion:
[mm] \frac{n*(n+1}{2} [/mm]
Die Ergebnisse für x un y gehören jedoch nicht zu einer der beiden Reihen.
Ich habe mir dann überlegt, wie man von den Zahlen auf die ursprünglichen Zahlen zurück schließen kann.
[mm] Quadratzahl=\sqrt{y}
[/mm]
[mm] Dreieckszahl=\frac{x^{2}-1}{8} [/mm]
Die Quadratzahl erscheint mir nachvollziehbar, doch verstehe ich nicht, wie man die eigentliche Form der Dreiecksfolge mit dieser hier vereinbaren kann.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Crossposting:
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474567
Ich habe meine Frage bereits in einem anderen Forum gestellt, doch schien dort keiner interessiert zu sein. Vielleicht auch weil ich in das flasche Unterforum gepostet hab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 22.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Es soll bewiesen werden, dass für den Fall, dass eine Zahl
> der Dreiecksfolge gleich einer Quadratzahl ist, zu der
> Gleichung 1=x²-8y² hingeführt werden kann.
> Die Formel ide es herzuleiten gilt lautet:
>
> [mm]x^{2}=8y^{2}+1[/mm]
>
> Es geht nur um ganzzahlige Lösungen.
> Mit einem Programm habe ich Lösungsmöglichkeiten für
> (x,y) ermittelt, um eine Basis zu haben.
>
> (1,0), (3,1), (17,6), (99,35), (577,204), (3363,1189)
>
> Die Dreieckszahlen folgen diese Funktion:
>
> [mm]\frac{n*(n+1}{2}[/mm]
>
> Die Ergebnisse für x un y gehören jedoch nicht zu einer
> der beiden Reihen.
>
> Ich habe mir dann überlegt, wie man von den Zahlen auf die
> ursprünglichen Zahlen zurück schließen kann.
>
> [mm]Quadratzahl=\sqrt{y}[/mm]
>
> [mm]Dreieckszahl=\frac{x^{2}-1}{8}[/mm]
>
> Die Quadratzahl erscheint mir nachvollziehbar, doch
> verstehe ich nicht, wie man die eigentliche Form der
> Dreiecksfolge mit dieser hier vereinbaren kann.
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar!
>
> Crossposting:
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474567
> Ich habe meine Frage bereits in einem anderen Forum
> gestellt, doch schien dort keiner interessiert zu sein.
> Vielleicht auch weil ich in das flasche Unterforum gepostet
> hab.
Hallo,
erkläre doch erst einmal für uns, was du hier mit x und was du hier mit y bezeichnest.
Gruß Abakus
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öh, könntest du das vielleicht ein ganz klein wenig anders formulieren?^^
Du möchtest also haben, dass [mm] $\frac{n(n+1)}{2} [/mm] = [mm] a^2$ [/mm] für passende $a,n [mm] \in \IN$ [/mm] ?
Wenn du ein solches Paar $(n,a)$ hast, wo genau kommt dann diese Formel her?
x=a, y=n, oder ganz anders?
Also formuliere das am besten ein wenig um, denn ich weiß nicht wie es anderen geht, aber ich persönlich steige da nicht ganz durch...
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Di 22.11.2011 | | Autor: | titus2000 |
Schadow > öh, könntest du das vielleicht ein ganz klein wenig
> anders formulieren?^^
>
> Du möchtest also haben, dass [mm]\frac{n(n+1)}{2} = a^2[/mm] für
> passende [mm]a,n \in \IN[/mm] ?
> Wenn du ein solches Paar [mm](n,a)[/mm] hast, wo genau kommt dann
> diese Formel her?
> x=a, y=n, oder ganz anders?
>
> Also formuliere das am besten ein wenig um, denn ich weiß
> nicht wie es anderen geht, aber ich persönlich steige da
> nicht ganz durch...
>
>
> lg
>
> Schadow
Also es geht darum, dass man diesen Fall, ich nenne ihn Q(x)=D(x), auf die Gleichung x²-8y²=1 zurückführt.
Schaut man sich nun die Ergebnisse dieser Funktion an so sieht man, dass y scheinbar die Wurzel des Falles Q(x)=D(x) ist. x bezeichnet wie in meinem Anfangspost scheinbar (x²-1)/8. Das Ergebnis hieraus ist wieder das Ergebnis für einen Fall D(x)=Q(x)
Ziel ist es die Ausgangsgleichung von Dreieckszahlen so umzuformen, dass man daraus die normalform der Dreieckszahlen ermitteln kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Di 22.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ein x, das was mit Dreieckszahlen zu tun hat, und ein y mit quadratzahl.
also wie muss man n wählen dass die zugehörige dreieckszahl eine quadratzahl ist.
also rechne einfach aus:
[mm] n*(n+1)/2=y^2
[/mm]
bestimme daraus n, und daraus [mm] 8y^2+1 [/mm] dann hast du nen Zusammenhangvon x und n
ist die ursprüngliche Aufgabe wirklich so, wie du sie aufgeschrieben hast? oder ist das deine Umformulierung. und woher stammt sie?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mi 23.11.2011 | | Autor: | titus2000 |
Die Aufgabe bei uns in der Matheag ausgesprochen und ich habe mitgeschrieben. Da mein Lehrer aber jetzt auf Studienfahrt ist, kann ich leider nicht nachfragen.
Ich glaube ich habe mein Problem gelöst
Ich habe ja letzlich zwei gleichungen für y²:
(x²-1)/8=y² (3,1), (17,6), (99,35), (577,204), (3363,1189)
(n*(n+1))/2)=y² (1,1) (8,6) (49,35)
Was mir hier auffällt ist, dass 2*n+1=x
Setze ich also für x ein stehen dort zwei Gleichungen, die identisch sind.
Was ja eigentlich als herleitung der Formel genügt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mi 23.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Es soll bewiesen werden, dass für den Fall, dass eine Zahl
> der Dreiecksfolge gleich einer Quadratzahl ist, zu der
> Gleichung 1=x²-8y² hingeführt werden kann.
> Die Formel ide es herzuleiten gilt lautet:
>
> [mm]x^{2}=8y^{2}+1[/mm]
>
> Es geht nur um ganzzahlige Lösungen.
> Mit einem Programm habe ich Lösungsmöglichkeiten für
> (x,y) ermittelt, um eine Basis zu haben.
>
> (1,0), (3,1), (17,6), (99,35), (577,204), (3363,1189)
>
> Die Dreieckszahlen folgen diese Funktion:
>
> [mm]\frac{n*(n+1}{2}[/mm]
Also soll [mm] \frac{n*(n+1)}{2}=x^2 [/mm] gelten, wobei x eine natürliche Zahl sein muss.
Forme um zu
[mm] n^2+n-2x^2=0,
[/mm]
löse diese quadratische Gleichung nach n und betrachte insbesondere, wie die Diskriminante aussehen muss, damit tatsächlich eine ganzzahlige Lösung entsteht.
Gruß Abakus
>
> Die Ergebnisse für x un y gehören jedoch nicht zu einer
> der beiden Reihen.
>
> Ich habe mir dann überlegt, wie man von den Zahlen auf die
> ursprünglichen Zahlen zurück schließen kann.
>
> [mm]Quadratzahl=\sqrt{y}[/mm]
>
> [mm]Dreieckszahl=\frac{x^{2}-1}{8}[/mm]
>
> Die Quadratzahl erscheint mir nachvollziehbar, doch
> verstehe ich nicht, wie man die eigentliche Form der
> Dreiecksfolge mit dieser hier vereinbaren kann.
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar!
>
> Crossposting:
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474567
> Ich habe meine Frage bereits in einem anderen Forum
> gestellt, doch schien dort keiner interessiert zu sein.
> Vielleicht auch weil ich in das flasche Unterforum gepostet
> hab.
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