vollst.Indukt.Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für alle n [mm] \in \IN [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 1):
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2n-1}{2n} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht das zu beweisen,aber das Ungleichheitszeichen hat mich verwirrt.
Induktionsanfang: n=1. Für n=1 hab ich [mm] \bruch{1}{2} \le \bruch{1}{2}, [/mm] d.h. der Induktionsanfang gelingt schonmal.
Induktionsvoraussetzung: [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2n-1}{2n} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}}
[/mm]
Induktionsschritt: Für n setze ich jetzt n+1 ein un muss zeigen,dass das gilt:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} \le \bruch{1}{\wurzel{3*(n+1)+1}}, [/mm] das kann man auch so schreiben:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2n+1}{2n+2} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}}
[/mm]
Ich muss doch jetzt versuchen [mm] \bruch{2n+1}{2n+2} [/mm] irgendwie umzuformen, sodass ich die Induktionsvoraussetzung benutzen kann ?
Ich könnte schreiben: [mm] \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}=1-\bruch{1}{n+1} [/mm] aber das bringt mir irgendwie nichts.
Ich weiß nicht so genau wie ich hier weitermachen soll,kann mir da jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank
lg
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Hallo, > Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für alle n
> [mm]\in \IN[/mm] (n [mm]\ge[/mm] 1):
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> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2n-1}{2n} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}}[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe versucht das zu beweisen,aber das
> Ungleichheitszeichen hat mich verwirrt.
>
> Induktionsanfang: n=1. Für n=1 hab ich [mm]\bruch{1}{2} \le \bruch{1}{2},[/mm]
> d.h. der Induktionsanfang gelingt schonmal.
>
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2n-1}{2n} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}}[/mm]
>
soll gelten für ein n [mm] \ge [/mm] 1 (sollte man dazu schreiben)
> Induktionsschritt: Für n setze ich jetzt n+1 ein un muss
> zeigen,dass das gilt:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} \le \bruch{1}{\wurzel{3*(n+1)+1}},[/mm]
Versuch doch mal zu schauen wie der vorletzte Faktor aussieht, der ist nämlich: [mm] \bruch{2n-1}{2n} [/mm] ,also steht doch da: [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}*...*\bruch{2n-1}{2n}*\bruch{2n+1}{2n+2} [/mm] ,aber der erstere Teil kommt uns doch bekannt vor und da [mm] \bruch{2n+1}{2n+2}>0 [/mm] ist für alle n [mm] \in \IN, [/mm] ist das Ganze doch nach Induktionsvoraussetzung [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}}*\bruch{2n+1}{2n+2}, [/mm] nun musste nur noch abschätzen, dass das [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}} [/mm] ist...
Viele Grüße
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