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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - vollst. Indukt bei Ungleichung
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vollst. Indukt bei Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:11 Do 08.10.2009
Autor: itse

Aufgabe
Beweise mittels vollständiger Induktion:

2n [mm] \le 2^n [/mm]

Hallo Zusammen,

ich fange so an:

1. Induktionsanfang für n = 1:

2 [mm] \cdot{} [/mm] 1 [mm] \le 2^1 [/mm]
2 [mm] \le [/mm] 2 (w)

2. Induktionsschluss

a, Induktionsannahme: 2n [mm] \le 2^n [/mm] gilt für beliebiges n [mm] \in \IN [/mm]

b, Induktionsbeweis für n -> n+1: Zu zeigen ist nun, dass 2(n+1) [mm] \le 2^{n+1} [/mm] gilt:

2(n+1) [mm] \le 2^{n+1} [/mm]
2n+2 [mm] \le 2^n+2^n [/mm]

Nun muss ich die Annahme ins Spiel bringen, also 2n [mm] \le 2^n, [/mm] wenn ich auf beiden Seiten zwei addiere, ändert sich nichts am Ergebnis 2n +2 [mm] \le 2^n [/mm] + 2.
Außerdem gilt 2 [mm] \le [/mm] 2n und laut Induktionsannahme 2n \ le [mm] 2^n [/mm] -> 2 [mm] \le 2^n [/mm]

2n+2 [mm] \le 2^n+2^n [/mm]   unter Berücksichtigung 2 [mm] \le 2^n [/mm]

2n + 2 [mm] \le 2^n [/mm] + 2 [mm] \le 2^n+2^n [/mm]

->  2n [mm] \le 2^n [/mm]

Wäre dies so richtig?

Ich habe Probleme damit, zwischen 2n+2 [mm] \le 2^n+2^n [/mm] und (Annahme)  2n [mm] \le 2^n [/mm]  einen Zusammehang zu erkennen, damit der Induktionsschluss aufgeht.

Danke,
itse

        
Bezug
vollst. Indukt bei Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Do 08.10.2009
Autor: fred97


> Beweise mittels vollständiger Induktion:
>  
> 2n [mm]\le 2^n[/mm]
>  Hallo Zusammen,
>  
> ich fange so an:
>  
> 1. Induktionsanfang für n = 1:
>  
> 2 [mm]\cdot{}[/mm] 1 [mm]\le 2^1[/mm]
>  2 [mm]\le[/mm] 2 (w)
>  
> 2. Induktionsschluss
>  
> a, Induktionsannahme: 2n [mm]\le 2^n[/mm] gilt für beliebiges n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> b, Induktionsbeweis für n -> n+1: Zu zeigen ist nun, dass
> 2(n+1) [mm]\le 2^{n+1}[/mm] gilt:
>  
> 2(n+1) [mm]\le 2^{n+1}[/mm]
>  2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm]
>  
> Nun muss ich die Annahme ins Spiel bringen, also 2n [mm]\le 2^n,[/mm]
> wenn ich auf beiden Seiten zwei addiere, ändert sich
> nichts am Ergebnis 2n +2 [mm]\le 2^n[/mm] + 2.
>  Außerdem gilt 2 [mm]\le[/mm] 2n und laut Induktionsannahme 2n \ le
> [mm]2^n[/mm] -> 2 [mm]\le 2^n[/mm]
>  
> 2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm]   unter Berücksichtigung 2 [mm]\le 2^n[/mm]
>  
> 2n + 2 [mm]\le 2^n[/mm] + 2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm]
>  
> ->  2n [mm]\le 2^n[/mm]

>  
> Wäre dies so richtig?

Formal ist das nicht korrekt. Du folgerst aus dem was Du zeigen sollst (2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm] ) etwas Richtiges ( 2n [mm]\le 2^n[/mm]). Das ist kein Beweis !

Beispiel:  Behauptung: 1=0

"Beweis" :

   1=0
+  0=1
-------
   1=1

Aus etwas falschem kann man also durchaus etwas richtiges schließen,

Zu Deiner Aufgabe.

n [mm] \to [/mm] n+1:

$2(n+1) = 2n+2 [mm] \le 2^n+2 \le 2^n+2^n [/mm] = [mm] 2*2^n [/mm] = [mm] 2^{n+1}$ [/mm]

FRED



>  
> Ich habe Probleme damit, zwischen 2n+2 [mm]\le 2^n+2^n[/mm] und
> (Annahme)  2n [mm]\le 2^n[/mm]  einen Zusammehang zu erkennen, damit
> der Induktionsschluss aufgeht.
>  
> Danke,
>  itse


Bezug
                
Bezug
vollst. Indukt bei Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Do 08.10.2009
Autor: ms2008de

Hallo,

Kurze Frage zum Induktionsschluss:

> > Beweise mittels vollständiger Induktion:
>  >  
> > 2n [mm]\le 2^n[/mm]
> > 1. Induktionsanfang für n = 1:
>  >  
> > 2 [mm]\cdot{}[/mm] 1 [mm]\le 2^1[/mm]
>  >  2 [mm]\le[/mm] 2 (w)
>  >  
> > 2. Induktionsschluss
> Zu Deiner Aufgabe.
>  
> n [mm]\to[/mm] n+1:
>  
> [mm]2(n+1) = 2n+2 \le 2^n+2 \le 2^n+2^n = 2*2^n = 2^{n+1}[/mm]
>  
> FRED

Wenn man hier anstatt bei n=1 den Induktionsanfang bei n=0 gesetzt hätte, dann wäre die Folgerung [mm] 2^n+2 \le 2^n+2^n [/mm] ja falsch, denn 1+2=3 > 1+1=2. Würde man das Problem hier einfach lösen, indem man beim Induktionsanfang zeigt, dass es auch für n=1 gilt, und kann dann somit hier fordern, weil n [mm] \ge [/mm] 1 ist gilt die Gleichung...?


Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
vollst. Indukt bei Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Do 08.10.2009
Autor: pelzig


> Wenn man hier anstatt bei n=1 den Induktionsanfang bei n=0
> gesetzt hätte, dann wäre die Folgerung [mm]2^n+2 \le 2^n+2^n[/mm]
> ja falsch, denn 1+2=3 > 1+1=2. Würde man das Problem hier
> einfach lösen, indem man beim Induktionsanfang zeigt, dass
> es auch für n=1 gilt, und kann dann somit hier fordern,
> weil n [mm]\ge[/mm] 1 ist gilt die Gleichung...?

Exakt. Freds Induktionsschritt funktioniert nur für [mm] $n\ge [/mm] 1$. Wenn man die Aussage auch für 0 zeigen soll, kann man z.B. einfach den Induktionsanfang für n=0 und n=1 machen.

Gruß, Robert

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