vollst. Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 So 14.11.2004 | | Autor: | iKai |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nachdem ich nun die letzte Woche mit Fieber erschlagen im Bett lag, komm ich mit dieser Übungsaufgabe, die wir neu bekamen so rein gar nicht zurecht und weiter, verstehe weder mehr, was denn eigentlich von mir verlangt is zu zeigen, noch wie ich's zeigen kann, da ich nun auch keine Zeit hatte mir die vollst. Induktion näher anzusehn.
Danke schon mal für Hilfe :)
Die Aufgabe ist:
"Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass [mm] 2^{n}>n^{2} [/mm] für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge5."
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 14.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo, IKai!
Ich probier mal:
(1.) Für n=5 ist die Ungleichung erfüllt
(2.) Man nimmt an [mm] 2^{n} [/mm] > n² gilt f.a. n>=5
(3.) Induktionsschritt:
[mm] 2^{n+1}= [/mm] 2* [mm] 2^{n} [/mm] > (n+1)² (das ist nun zu zeigen)
Wegen (2.) gilt 2* [mm] 2^{n}> [/mm] 2*n²
und 2* n² ist größer (n+ 1)², denn das liefert
n²> 2n+ 1 [mm] \Rightarrow [/mm] n> 2+ 1/n
und das ist doch für unsere n>= 5 allemal erfüllt.
Also gilt nun [mm] 2^{n+1}> [/mm] (n+1)² und es folgt die anfängliche Behauptung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 14.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin iKai!
Also ich käme mit der Antwort von nilez arg durcheinander.
Also nochmal vollständige Induktion im allgemeinen
a) zeige das deine Gleichung für eine Zahl hier 5 gilt
b) (IV) wir nehmen an, das die Gleichung für eine beliebige aber fest bestimmte Zahl z.B. k gilt dabei genügt die Existenz einer solchen Zahl und das es sie gibt hast du in a) gezeigt
c) zu zeigen bleibt nun das die Gleichung nun auch für die auf k folgende Zahl k+1 gilt.
zu deiner Aufgabe:
a) kannst du selbst
b) (IV) [mm] 2^{k} [/mm] > [mm] k^{2}
[/mm]
c) [mm] 2^{k+1} [/mm] = [mm] 2*2^{k} [/mm] (IV) einsetzen
[mm] \to 2^{k+1} =2*2^{k} >2n^{2}
[/mm]
hier fügen wir geeignete Nullen ein 0=2n-2n und 0=1-1
[mm] \to 2^{k+1} =2*2^{k}>2k^{2} [/mm] = [mm] k^{2} +k^{2} [/mm] +2k -2k +1+1-2
[mm] =[k+1]^{2} +[k-1]^{2} [/mm] -2 [mm] \ge
[/mm]
da n [mm] \ge [/mm] 5 können wir nach unten abschätzen
[mm] \ge [k+1]^{2} +[5-1]^{2} [/mm] -2=
= [mm] [k+1]^{2} [/mm] +14 [mm] >[k+1]^{2}
[/mm]
somit gilt deine Gleichung für all n mit [mm] n\ge [/mm] 5 n [mm] \in \IN
[/mm]
hoffe das hilft dir
MfG zwerg
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