vollst. Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | beweise durch vollständige Induktion: Für n=1,2,.... gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^k*k^2 [/mm] = [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | für n = 0,1,... gilt:
[mm] (1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)....(1+x^2^n) [/mm] = [mm] 1-x^2^n+1 [/mm] / 1-x [mm] x\not=1 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. huhu bei der ersten aufgabe steht der "vektor" für ein binomialkoeffizienten. Ich habe versucht mit n +1 zu erweitern, hat mich allerdings nur noch mehr verwirrt, und der betreuende student erklärts nicht wirklich gut. wäre lieb wenn ihr einen Ansatz für mich hättet wie ich das beweisen kann. :)
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moin Evelyn,
Weißt du denn wie Induktion genau funktioniert?
Hast du schon Induktionsaufgaben gerechnet?
Nachdem du den Induktionsanfang erledigt hast musst du im Induktionsschluss die Summe bis n+1 betrachten und dann so umformen, dass du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst.
${n+1 [mm] \choose [/mm] 2} = (n+1)*n/2$
Das dürfte vielleicht ein wenig helfen. ;)
lg
Schadow
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der tipp mit dem n+1 = n/2 hilft auf jeden fall schonmal danke^^ trotzdem bin ich sehr unsicher wie ich vorgehen muss. Ist meine erste Induktionsaufgabe in meine rersten Semesterwoche :P wenn iich erste gleichung habe, muss ich sie so hinkriegen, dass ich(-1)^(n+1)* [mm] \vektor{n+2 \\ 2} [/mm] habe oder? würde ja sinn machen doch was muss ich da`für tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 So 16.10.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Zeige, dass
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k^2 [/mm] $ = $ [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] $
für n=1 richtig ist.
2. Nimm an es sei n [mm] \in \IN [/mm] und es sei
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k^2 [/mm] $ = $ [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] $.
Zeige damit:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k^2 [/mm] $ = $ [mm] (-1)^{n+1} \vektor{n+2 \\ 2} [/mm] $
FRED
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Wäre der Ansatz auf beide Seiten
[mm] +(-1)^{n+1} *(n+1)^2 [/mm] zu addieren? dann würde es ja für n+1 gelten oder? und dann nach
[mm] (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \vektor{n+2 \\ 2} [/mm] ?
wäre das der richtige rechenweg?
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> Wäre der Ansatz auf beide Seiten
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> [mm]+(-1)^{n+1} *(n+1)^2[/mm] zu addieren? dann würde es ja
> für n+1 gelten oder? und dann nach
>
> [mm](-1)^{n+1}[/mm] * [mm]\vektor{n+2 \\ 2}[/mm] ?
>
> wäre das der richtige rechenweg?
jain.
Es wäre der richtige Rechenweg, ja, aber man würde es normalerweise formal etwas anders aufschreiben.
Du setzt voraus, dass gilt:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k^2 [/mm] $ = $ [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] $
Nun betrachtest du
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k^2 [/mm] $
Was ja gerade die Summe bis n+1 ist.
Jetzt ziehst du den obersten Summanden aus der Summe raus, also:
$ = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k^2$ [/mm] + [mm] $(-1)^{n+1}*(n+1)^2$
[/mm]
und hier wendest du die Induktionsvoraussetzung an, denn über die vordere Summe hast du ja eine Annahme getroffen.
$ = [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}*(n+1)^2 [/mm] $
Jetzt bist du wieder an der Stelle wo du wärst wenn du es auf beiden Seiten addiert hättest, es ist also wie gesagt einfach nur eine formale Sache auf welche Art man da vorgeht.
Wenn du noch keine anderen Induktionen gemacht hast würde ich dir dringend empfehlen das System noch etwas zu üben (falls du Zeit hast^^), denn das ist etwas was sehr, sehr gern in einer Klausur dranngenommen wird; abgesehen davon ist Induktion in vielen Fällen nützlich.
Recht leicht mit Induktion zu zeigen sind zum Beispiel folgende Gleichheiten:
[mm] $\summe_{k=1}^n [/mm] k = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^n [/mm] k*k! = (n+1)! - 1$
Und es gibt noch einige Aufgaben mehr um Induktion zu üben.
Ich persönlich bin der Meinung wenn man den Klassiker - die allgemeine binomische Formel - ohne Hilfe hinkriegt hat man genug geübt. xD
lg
Schadow
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Huhu danke für die Antwort shadow.^^
also war mein ansatz richtig, doch ist dieser ansatz durch die addition evtl. schon der beweis der gültigkeit?
oder ist in
$ = [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^2 [/mm] $
eine binomische formel drin, die ich übersehe?
ich hab ehrlich gesagt schwieirigkeiten hier irgendwas auf einen Nenner zu bringen/ zusammenzufassen, vor allem das +zwischendrin stört mich ich wünschte es wäre ein * ^^. Dadurch krieg ich irgendwie nirgendswo was weggekürzt. Oder ist es fertig so wie es da steht?
Ps: die übungen von dir krieg ich hin die sind definitiv leichter^^
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> Huhu danke für die Antwort shadow.^^
> also war mein ansatz richtig, doch ist dieser ansatz durch
> die addition evtl. schon der beweis der gültigkeit?
>
> oder ist in
>
> [mm]= (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} + (-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^2[/mm]
>
> eine binomische formel drin, die ich übersehe?
> ich hab ehrlich gesagt schwieirigkeiten hier irgendwas auf
> einen Nenner zu bringen/ zusammenzufassen, vor allem das
> +zwischendrin stört mich ich wünschte es wäre ein * ^^.
> Dadurch krieg ich irgendwie nirgendswo was weggekürzt.
> Oder ist es fertig so wie es da steht?
nein, das ist noch nicht fertig.
Du brauchst rechts die Aussage für n+1, die wäre:
[mm] $(-1)^{n+1} [/mm] {n+2 [mm] \choose [/mm] 2}$
Das heißt du musst zeigen:
[mm] $(-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^2 [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] {n+2 [mm] \choose [/mm] 2}$
Benutze dafür am besten, dass gilt: ${n [mm] \choose [/mm] 2} = [mm] \frac{n*(n-1)}{2}$ [/mm] (und entsprechend auch für n+1 statt n)
Damit kriegst du es vielleicht schöner auf einen Nenner. ;)
lg
Schadow
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also wenn [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] = n*(n-1)/2 ist und dann [mm] \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] = n+1*n /2 ist und ich aus
$ [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^2 [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] {n+2 [mm] \choose [/mm] 2} $
machen will und es also zusammenfassen will mache ich den gemeinsamen nenner 2:
[mm] (-1)^n [/mm] * [(n+1) [mm] \* [/mm] n [mm] +(-1)^{n+1} [/mm] * [mm] (n+1)^2 [/mm] * 2] /2
was kannman hier zusammenfassen? weiß vor allem nicht wie ich die [mm] (-1)^{n+1} [/mm] aus em zähler kriege :/
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Hallo Evelyn,
> also wenn [mm]\vektor{n \\
2}[/mm] = n*(n-1)/2 ist und dann
> [mm]\vektor{n+1 \\
2}[/mm] = n+1*n /2 ist und ich aus
Es reicht nicht, wenn Du nur schreibst, was Du auch sprichst. Hier fehlen Klammern.
> [mm](-1)^n \vektor{n+1 \\
2} + (-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^2 = (-1)^{n+1} {n+2 \choose 2}[/mm]
>
> machen will und es also zusammenfassen will mache ich den
> gemeinsamen nenner 2:
>
> [mm](-1)^n[/mm] * [(n+1) [mm]\*[/mm] n [mm]+(-1)^{n+1}[/mm] * [mm](n+1)^2[/mm] * 2] /2
>
> was kannman hier zusammenfassen? weiß vor allem nicht wie
> ich die [mm](-1)^{n+1}[/mm] aus em zähler kriege :/
Hm, wieso betrachtest Du auf einmal nur noch die linke Seite? Wegen der Induktion? In jedem Fall hast Du falsch ausgeklammert. Wenn Du [mm] (-1)^n [/mm] vor die Klammer ziehst, dann bleibt in der Klammer doch nicht [mm] (-1)^{n+1} [/mm] stehen!
Weiter kannst Du auch noch (n+1) ausklammern.
Besser wäre aber insgesamt, Du würdest einfach weiter die ganze Gleichung betrachten:
1) Binomialkoeffizienten ausschreiben
2) Gleichung mit 2 multiplizieren
3) Gleichung durch [mm] (-1)^n [/mm] teilen
4) Gleichung durch (n+1) teilen
...
Die Schritte 2-4) kann man natürlich auch zu einem zusammenfassen.
Grüße
reverend
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ist hierdrin ein fehler bei meiner vorgehensweise?
$ [mm] (-1)^n \vektor{n+1 \\ 2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^2 [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] {n+2 [mm] \choose [/mm] 2} $ schreib ich um in:
[mm] (-1)^n \* [/mm] (n [mm] \* [/mm] (n+1))/(2) [mm] +(-1)^{n+1} \+ (n+1)^2 [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} \* [(n+1)\*(n+2)] [/mm] / 2
jetzt multipliziere ich mit 2 und durch [mm] (-1)^n:
[/mm]
n [mm] \* [/mm] (n+1) + 2 [mm] \* [/mm] (-1) [mm] \* (n+1)^2 [/mm] = 2 [mm] \* [/mm] (-1) [mm] \* [/mm] (n+1) [mm] \* [/mm] (n+2)
jetzt teile ich durch (n+1):
n + (-2) [mm] \* [/mm] (n+1) = (-2) [mm] \* [/mm] (n+2)
wenn ich weiter verinfache komme ich auf ein wert für n = -2 aber das will ich doch ncht beweisen oder?^^ oder sieht man an der obrigen gleichung den beweis?
LG evelyn
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Hallo nochmal,
da ist nur noch ein Flüchtigkeitsfehler drin. Die Gleichung muss ja in der Tat für jedes n gelten, sonst stimmt der Induktionsschritt nicht.
> ist hierdrin ein fehler bei meiner vorgehensweise?
>
> [mm](-1)^n \vektor{n+1 \\
2} + (-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^2 = (-1)^{n+1} {n+2 \choose 2}[/mm]
> schreib ich um in:
>
>
> [mm](-1)^n \*[/mm] (n [mm]\*[/mm] (n+1))/(2) [mm]+(-1)^{n+1} \+ (n+1)^2[/mm] =
> [mm](-1)^{n+1} \* [(n+1)\*(n+2)][/mm] / 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt multipliziere ich mit 2 und durch [mm](-1)^n:[/mm]
>
> n [mm]\*[/mm] (n+1) + 2 [mm]\*[/mm] (-1) [mm]\* (n+1)^2[/mm] = 2 [mm]\*[/mm] (-1) [mm]\*[/mm] (n+1) [mm]\*[/mm]
> (n+2)
Wo kommt der Faktor 2 auf der rechten Gleichungsseite her?
Ohne den stimmt doch alles.
> jetzt teile ich durch (n+1):
>
>
> n + (-2) [mm]\*[/mm] (n+1) = (-2) [mm]\*[/mm] (n+2)
>
>
> wenn ich weiter verinfache komme ich auf ein wert für n =
> -2 aber das will ich doch ncht beweisen oder?^^ oder sieht
> man an der obrigen gleichung den beweis?
Nein, das willst Du nicht beweisen. Aber wenn dann da steht
-n-2=-n-2, dann ist alles richtig.
Grüße
reverend
> LG evelyn
>
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ah ich sehe es^^ tausend dank dass du mir soviel geholfen hast, wäre ohne dich echt aufgeschmissen gewesen. Ich denke ich kann das auch gut nachvollziehen jetzt mit der endgleichung :) nochmals vielen Dank ! :D
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